trapez + funkcja liniowa ewe7: Punkty A=(2,0) B=(8,3) C=(7,4) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego o podstawie AB. Wyznacz współrzędne wierzchołka D tego trapezu. Prosze o rozwiązanie

krystek: 1Napisz r−nie prostej AB 2)Prostej DC 3) wyznacz Srodek Sr (odcinka AB) 4) Napisz równanie ESr 5 w przecięciu prostej ESr i CD leży punkt E i teraz wektor EC→=DE→

Janek191: A = ( 2; 0), B = ( 8; 3), C = ( 7; 4) Niech D = ( x; y) pr AB : y =ax + b 0 = 2a + b 3 = 8a + b −−−−−−−−−−−−−− odejmujemy stronami 3 = 6a a = 1/2 −−−−−−−− b = − 2a = − 2*0,5 = − 1 −−−−−−−−−−−−−−−− y = 0,5 x − 1 − równanie prostej AB ============= pr CD jest równoległa do pr AB i przechodzi przez C : wiec y = 0,5 x + b 4 = 0,5*7 + b 4 − 3,5 = b b = 0,5 −−−−−−− y = 0,5 x + 0,5 − równanie prostej CD ============= S − środek odcinka AB : x_s = ( 2 + 8)/2 = 5 y_s = ( 0 + 30/2 = 1,5 S = ( 5; 1,5 ) ============= Symetralna odcinka AB i równocześnie symetralna odcinka CD przechodzi przez S i jest prostopadła do pr AB, zatem 0,5 *a₂ = − 1 ⇒ a₂ = − 2 i S = ( 5; 1,5) więc y = −2 x + b₂ 1,5 = −2*5 + b₂ 1,5 + 10 = b₂ b₂ = 11,5 −−−−−−−−−−−− y = −2 x + 11,5 − równanie symetralnej odcinka AB ============= Szukam środka odcinka CD − punkt przecięcia się pr CD z symetralną odcinka AB : y = 0,5 x + 0,5 y = −2 x + 11,5 −−−−−−−−−−−−−−−−−−− 0,5 x + 0,5 = −2x + 11,5 / * 2 x + 1 = − 4x + 23 5x = 22 x = 4,4 −−−−−−− y = 0,5*4,4 + 0,5 = 2,2 + 0,5 = 2,7 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− S₁ = ( 4,4 ; 2,7 ) − środek odcinka CD ================= D = ( x; y) C = ( 7; 4) S₁ − środek odcinka CD więc ( 7 + x)/2 = 4,4 ( 4 + y)/2 = 2,7 −−−−−−−−−−−−−−− 7 + x = 8,8 4 + y = 5,4 −−−−−−−−− x = 1,8 y = 1,4 −−−−− Odp. D = ( 1,8 ; 1,4 ) =====================

Bogdan: Są 2 rozwiązania spełniające warunki zadania: trapez ABCD₁ oraz trapez ABCD₂ r² = (7 − 8² + (4 − 3)² = 2,

	3 − 0		1
prosta AB: y = a1x + b1, a1 =		=
	8 − 2		2

	1		1		1
prosta CD: y = a2x + b2, a1 = a2 =		, y =		(x − 7) + 4 ⇒ y =		x +
	2		2		2

	1
	2

Eta:

Bogdan:

	1		1
prosta CD: y =		x +
	2		2

okrąg o środku A i promieniu r: (x − 2)² + y² = 2 Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymamy współrzędne punktów D₁ i D₂

Bogdan: mały chochlik zjadł nawias, poprawiam: r² = (7 − 8)² + (4 − 3)² = 2

Janek191: Do Bogdana : Jakiś dziwny ten II trapez równoramienny !

Bogdan: A co w nim dziwnego? Trapez to trapez, czyli czworokąt wypukły, który ma 2 boki równoległe, równoległobok też jest przecież trapezem.

Janek191: Def. 14.5 a) Trapezem nazywamy czworokąt mający przynajmniej dwa boki równoległe ; trapez mający dwa boki przeciwległe nierównoległe i równe nazywamy równoramiennym. Patrz. GEOMETRIA dla klasy I technikum. Zofia Krygowska, Janina Maroszkowa. PZWS 1969 strona 105.

Bogdan: Czy ten trapez Janku191 jest równoramienny? Jeśli tak, to spełnia warunki zadania.

pigor: ... , Punkty A=(2,0) B=(8,3) C=(7,4) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego o podstawie AB. Wyznacz współrzędne wierzchołka D tego trapezu. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− no to może jeszcze np. tak :niech (x,y)=D − szukany wierzchołek, to z własności trapezu równoramiennego : AB^→ || CD^→ i |AD^→|= |BC^→| ⇔ [6,3] || [x−7,y−4] i AD²= BC² ⇔ ⇔ ⁶_x−7 = ³_y−4 i (x−2)²+y²=1²+(−1)² ⇔ 2(y−4)= x−7 i (x−2)²+y²=1=2 ⇔ ⇔ x=2y−1 i (2y−3)²+y²−2=0 ⇒ 5y⁻5y−7y+7=0 ⇔ 5y(y−1)−7(y−1)=0 ⇔ ⇔ (y−1)(5y−7)=0 ⇔ y=1 ∨ y= ⁷₅ ⇒ ⇒ (x,y)= (1,1}=D ∨ (x,y)= (⁹₅,⁷₅)=D . ...

Janek191: Do Bodana : To nie jest trapez równoramienny , ale równoległobok. Definicję trapezu równoramiennego podałem wyżej. Trapez równoramienny ma jedna parę boków równoległych .

Janek191: Do pigora − też nie znasz definicji trapezu równoramiennego ?

Janek191: Trapez równoramienny www.bazawiedzy.com ( materiały do nauki matematyki ... ) oraz Wikipedia

Bogdan: Oj Janek191 nie chce mi się już więcej przekonywać Ciebie, że równoległobok jest też trapezem i to równoramiennym. Jeśli dalej tkwisz w przekonaniu, że jest inaczej, to trudno.

pigor: ... cóż, ten typ tak ma i ciężko z nim polemizować , mylisz kolego J... definicję z własnościami, ano i niech ci już tak będzie , amen . ...

pigor: ...., a czworokąt kolegi B... to oczywiście trapez równoramienny, który nazwano z powodu swoich dodatkowych własności, równoległobokiem i tyle .

Janek191: Widzę, że czytanie ze zrozumieniem nie jest Waszą mocną stroną. W definicji prof. dr hab. Zofii Krygowskiej wyraźnie napisano, że trapezem równoramiennym nazywamy trapez , w którym boki nierównolegle są równe. W równoległoboku ( który też jest trapezem) są dwie pary boków równoległych, zatem nie może być trapezem równoramiennym.

Eta:

	a+b		a+a
P(trapezu)=		*h =		*h=a*h=P(równoległoboku)
	2		2

Bogdan: Jednak muszę zabrać głos jeszcze raz. Jeśli ograniczymy się do stwierdzenia: "w trapezie równoramiennym ramiona są równej długości", to równoległobok, romb, prostokąt i kwadrat są takim trapezem. Jeśli uzupełnimy stwierdzenie "w trapezie równoramiennym ramiona są równej długości" o warunek: " i miary kątów wewnętrznych przy podstawie są równe" lub "i przekątne są równej długości" lub "i trapez posiada oś symetrii przechodzącą przez środki podstaw" to równoległobok i romb nie są trapezami równoramiennymi, natomiast prostokąt i kwadrat tak. W tych ostatnich trzech przypadkach rację ma Janek191

Bogdan: Myślę, że w przypadku takich zadań trzeba w rozwiązaniu podać przyjęte kryteria opisujące badaną figurę.

pigor: ..., cóż, to raczej ty nie potrafisz czytać ze zrozumieniem i radzę jeszcze raz przeczytać o czym piszę, a co do twojego sposobu rozwiązania powyższego zadania wolę się nie wypowiadać, no ale jeśli na stronie ... zadane., czy coś tam , tak się rozwiązuje zadania to ... współczuję wszystkim, którzy korzystają z niej .

Mila: Niektórzy autorzy definiują trapez jako czworokąt posiadający tylko jedną parę boków równoległych, tzn. uważają, że równoległobok nie jest trapezem. Z trapezem w praktyce szkolnej było trochę bałaganu, jednak obowiązująca od dość dawna definicja: Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Definicja trapezu równoramiennego to problem wielu podręczników. Trapez równoramienny jest to trapez, mający oś symetrii, przechodzącą przez środki podstaw (i będącą zarazem ich symetralną). Ramiona takiego trapezu są równej długości. Kąty między ramionami a daną podstawą są sobie równe. Jednak dalej bałagan trwa. I dlatego w podanym zadaniu rację ma i Janek i Bogdan, wszystko zależy od przyjętej definicji. Autor zadania, powinien treść doprecyzować. U Kurczaba, jest w zadaniu sformułowanie z osią symetrii, to nie ma wątpliwości o co chodzi w zadaniu, inni piszą, "trapez równoramienny nie będący równoległobokiem". Kiełbasa: "Uwaga: Przyjmujemy,że równoległobok nie jest trapezem równoramiennym"