Wartości parametru w układzie równań. Matematyk: Dla jakich wartości parametru m układ równań: {3x−my=m+2 ma jedną parę rozwiązań(x,y) taką, że x>0 i y>0 {2mx−3y=4

	m+2+my
x=
	3

	m+2+my
2m(		)−3y=4
	3

2m2+4m+2m2y
	−3y=4 /*3
3

2m²+4m+2m²y−9y=12 y(2m²−9)+2m²+4m−12=0 y(2m²−9)=−2m²−4m+12

	−2m2−4m+12
y=		> 0 y>0
	2m2−9

	3√2		3√2
m1=−1+√7; m2=−1−√7; m3=		; m4=−
	2		2

	3√2		3√2
y>0 ⇔ y∊(−1−√7;−		) U (−1+√7;		)
	2		2

Już zabieram się za wyliczenie x. A co do y, czy wszystko jest tutaj ok? Bo jest jedna rzecz która mnie nurtuje, mianowicie a jest ujemne a więc przedziały są ok? Z góry dziękuję za pomoc.

Trivial: Czemu nie wyznaczniki? One są dobre do obliczania rozwiązań układów z parametrami. Układ jest nawet zapisany pod metodę wyznaczników.

⎧	3x − my = m+2
⎩	2mx − 3y = 4

3 −m 2m −3	x y		m+2 4
		=

	3 −m 2m −3
W = det		= 9 + 2m2 > 0 dla każdego rzeczywistego m.

	Wx		Wy
Rozwiązaniami są x =		oraz y =		. Skoro W > 0 to rozwiązania te są większe od
	W		W

zera gdy W_x > 0 oraz W_y > 0.

	m+2 −m 4 −3
Wx = det		= −3(m+2) + 4m = m−6 ⇒ m > 6

	3 m+2 2m 4
Wy = det		= 12 − 2m(m+2) = −2m2 − 4m + 12

−2m² − 4m + 12 > 0 / : (−2) m² + 2m − 6 < 0 ... m ∊ (...., .....) Łącząc to z m > 6 mamy: m ∊ (....., ....)

Trivial: Aha, tylko że zrobiłem błąd przy wyznaczniku głównym W. Powinno być W = −9 + 2m². To trochę zmienia, gdyż teraz już nie jest zawsze dodatni. Trzeba będzie wyliczyć do końca x oraz y a dopiero potem rozwiązać nierówności.

	Wx		m−6
x =		=
	W		−9+2m2

	Wy		−2m2−4m+12
y =		=
	W		−9+2m2

I teraz rozwiązać dla jakich m mamy x>0 oraz y>0.

Matematyk: A więc rozwiązaniem jest:

	3√2		3√2
x∊(−		;		) U (6,+∞)
	2		2

	3√2		3√2
y∊(−1−√7;−		) U (−1+√7;		)
	2		2

Zgadza się?

Matematyk:

Matematyk:

Matematyk:

Trivial: Nie zgadza się. Miałeś obliczyć m, a nie x,y.

Beti: jest dobrze

Beti: tylko zamiast x i y powinno być w odp. m. Na koniec jeszcze część wspólna tych przedziałów

Matematyk:

	3√2
Część wspólna tych przedziałów to: x∊(−1−√7;		) U (6,+∞) ?
	2

zima: na pewno nie. zaznacz oba rozwiązania na jednej osi liczbowej −−> wtedy widać, gdzie jest część wspólna

	3√2
Wg mnie jest to przedział (−1+√7,		), ale nie mam pod ręką kalkulatora, więc nie
	2

jestem w 100% pewna, czy dobrze ustawiłam liczby na osi.