Zadania - matematyka, rok I studiów [macierze, granice i szeregi] jasiek912: 1. Rozwiązać układ wzorami Cramera (3 równania do macierzy 3x3) 2x₁ − x₂ + x₃ = 2 −x₁ + 2x₂ = 1 3x₁ − x₂ − 2x₃ = 0 2. Zbadaj zbieżność szeregu ∞ 1 ∑ _____ n=1 n⁵ⁿ 3. Znajdź granicę funkcji lim (ⁿ⁺²_n−4)³ⁿ n → ∞ 4. Znajdź macierz X | −1 2 1 | | 2 | | 1 −2 1 | * X = | 0 | | 3 −2 1 | | 2 |

huehuehue: ok z ktorymi zadaniami masz problem ?

Krzysiek: 1.http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Cramera 2.skorzystaj z kryterium porównawczego 3. skorzystaj z liczby 'e' 4.AX=B X=A⁻¹B (przy założeniu,że detA≠0 )

jasiek912: Zrobiłem wszystkie te zadania na kolokwium, chcę sprawdzić tok rozumowania bo wyniki miałem w większości prawidłowe − szereg okazał się zbieżny 1/5 < 1 a granica wyszła mi 3. Układ rozwiązałem, wyznacznik był −15 a poszczególne x₁ = 1/3, x₂ = 2/3 i chyba x₃ = 1/15.. W układzie mam wątpliwości.

huehuehue: 3. granica mi wyszla e¹⁸ policz jeszcze raz

jasiek912: racja, e¹8 http://img96.imageshack.us/img96/9291/454e22de3ca14933aceea53.png

huehuehue:

	−11
1. det Wx=−11 x1=1 x2=		x3=1
	3

Trivial: 1. x₁ = x₂ = x₃ = 1 http://www.wolframalpha.com/input/?i=rref+{{2%2C-1%2C1%2C2}%2C{-1%2C2%2C0%2C1}%2C{3%2C-1%2C-2%2C0}} 4. Taki sam wynik jak w pierwszym. Kolumna trzech jedynek. http://www.wolframalpha.com/input/?i=rref+{{-1%2C2%2C1%2C2}%2C{1%2C-2%2C1%2C0}%2C{3%2C-2%2C1%2C2}}

Trivial:

	n+2
3. g = lim (		)3n = elim 3n*6/(n−4) = e18.
	n−4

Trivial:

	1
2. W jaki sposób granica wyszła		?
	5

Z kryterium Cauchy'ego:

	1
λ = lim		= lim n−5n * 1/n = [∞−∞] = 0.
	n√n5n

jasiek912: Zadanie drugie to zbieżność szeregów, wyszło mi że szereg jest zbieżny ponieważ 1/5 < 1

Trivial: No tak, ale jaką granicę liczyłeś że otrzymałeś taki wynik?

jasiek912: Nie liczyłem granicy tego szeregu.

Trivial: To w jaki sposób pokazałeś że jest zbieżny? Może źle tutaj przepisałeś. Na pewno mówisz o

	1		1
szeregu o wyrazach		, czy może		?
	n5n		5n

jasiek912: Napewno chodziło o ten szereg, który przepisałem. Miałem rozwiązanie przykładu, gdzie zamiast 5 była 2, i podmieniłem cyfry. Wynik okazał się dobry ale tok rozumowania gorzej

Trivial:

jasiek912: Ale teraz znalazłem teorię, z uwzględnieniem an/a_n+1 i tak samo mi wychodzi, że szereg jest zbieżny bo 1/5 < 1

Trivial: Ale ta granica również jest zero.

	an+1
lim		= 0
	an

W ogóle to wyrazy tego szeregu są malutkie. Kilka pierwszych wyrazów: [ 1.0, 2.98*10⁻⁸, 2.29*10⁻⁶⁰, 0.0, 0.0, ... ] 0.0 oznaczają liczby mniejsze od dokładności typu double komputera (ok. 10⁻³²⁴) Więc jego zbieżność jest raczej pewna.