♊: Aby określić, co rozumiemy przez liczbę naturalną i zbudować teorię zwaną arytmetyką liczba
naturalnych należy, określić zbiór pojęć pierwotnych tej teorii, czyli pojęć, których
definiować nie będziemy uważając je za "oczywiste" i ustalić listę aksjomatów teorii, czyli
twierdzeń, których prawdziwości umawiamy się nie podważać i nie będziemy nawet próbować ich
udowadniać.
Niech pojęciami pierwotnymi będą 0 oraz następnik, będący liczba naturalną. Następnikiem liczny
n nazywamy liczbę naturalną będącą najmniejszą liczbą naturalną większą od n.
Jako zbiór aksjomatów wykorzystam zbiór pięciu aksjomatów opracowany przez Giuseppe Peano.
1. 0 jest liczbą naturalną.
2. Każda liczba naturalna ma swoj następnik.
3. Nie ma liczby naturalnej, której następnikiem jest 0.
4. Następniki różnych liczb są różne.
5. Jeśli z jakiś cech liczby naturalnej winika, że jej następnik posiada również te cechy.
Ponad to cechy te charakteryzują również zero oznacza to, że cechy te są właściwe dla
wszystkich liczb naturalnych.
Teraz pozostaje nam zdefiniować dodawanieliczb naturalnych. Nie pisze wszędzie, ze chodzi o
liczby naturalne, żeby oszczędzić klawisze
Dodawanie jest to przypisanie parze liczb liczby trzeciej.
Wynikiem dodawania dowolnej liczby i zera jest ta sama liczba.
n+0=n
Następnik jekiejś liczby zapiszę za pomocą symbolu (n)
+
Jeśli wynikiem dodawania dwóch liczb n i m jest liczba k, to następnikiem liczby k jest liczba,
którą otrzymamy dodając n oraz następnik m.
n+m=k ⇒ (n+m)
+ = (k)
+ = n + (m)
+
Teraz przejdźmy do dowodu, że 2+2=4.
Najpierw trzeba określić co oznaczamy jako 2 i jako 4, przy okazji wtrącę tez jedynkę, bo mi
się przyda
1 = (0)
+
2 = (1)
+ = ((0)
+)
+
4 = ((((0)
+)
+)
+)
+
Zostaje nam tylko jedno
2+2 = 2 + (1)
+ = (2+1)
+ = (2+ (0)
+)
+ = ((2+0)
+)
+ = (2)
+)
+ = ((1)
+)
+)
+ =
= ((0
+)
+)
+)
+ = 4
∎
2+2=∫54δ
8
Co za piękny wywód.