całka ARECZEEEEEEEEEEEE: obliczyć całkę cos²x*sinx

huehuehue:

	−1		−1
∫cos2xsinxdx = t=cosx dt=−sinx = −∫t2dt =		t3 + C =		cos3x +C
	3		3

Trivial: Inny sposób:

	eix+e−ix		eix−e−ix
cos2x*sinx = (		)2(		)
	2		2i

	1		1
=		(eix+e−ix)(e2ix−e−2ix) =		(e3ix−e−ix+eix−e−3ix)
	8i		8i

	1
=		(sin(3x)+sin(x))
	4

	1		1
∫cos2x*sinxdx = −		cos(3x) −		cosx + c.
	12		4

PW: @Trivial: wprawiłeś mnie w dobry humor. To piękny przykład, jak po wdrapaniu się na odpowiednio wysoki poziom pewne rzeczy stają się banalne. Na taki dowód tożsamości

	1
cos2xsinx=		(sin3x+sinx)
	4

mało kto by wpadł!

ARECZEEEEEEEEEEEE: dzięki mam taki sam wynik, robiłem przez podstawienie cos2x=t i wyszło mi dokładnie tak samo

Trivial: PW, mnie ostatnio zaskoczył sposób na wyprowadzenie wzorów na sin(x+y) oraz cos(x+y). Sposób jest nieskończenie wiele razy prostszy niż jakieś kombinowanie geometryczne. Mieści się w kilku linijkach. Mamy macierze obrotu wektora o kąt x (bardzo łatwe do wyprowadzenia):

	cosx −sinx sinx cosx
Rx =

Żeby obrócić wektor o kąt x+y możemy obrócić wektor najpierw o x, a potem o y. Czyli:

	cosy −siny siny cosy	cosx −sinx sinx cosx
Rx+y = RyRx =

	cosxcosy−sinxsiny −(cosxsiny+sinxcosy) cosxsiny+sinxcosy cosxcosy−sinxsiny
=

Ale możemy też obrócić go od razu o kąt (x+y)

	cos(x+y) −sin(x+y) sin(x+y) cos(x+y)
Rx+y =

Macierze są równe, gdy ich poszczególne elementy są równe, zatem: cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny sin(x+y) = cosxsiny+sinxcosy Moim zdaniem sposób genialny!

PW: Świetne − znowu "odrobinę wyżej" i trudny dowód sprowadza się do prostych przekształceń. Widziałem gdzieś np. dowody tożsamości trygonometrycznych − przez obliczenie pochodnej obu stron (jeszcze tylko sprawdzić prawdziwość dla dowolnego wybranego x należącego do dziedziny i dowód gotowy).