dla ambitnych Maturzystów Tad: Dwa zadanka dla ambitnych Maturzystów − 1. Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x)=−x³+x²(2−m²)+x(2m²+4)−8 ma trzy pierwiastki. Dla jakiego m suma tych trzech pierwiastków jest max 2. Wyznacz wartości a i b tak, by liczby −2 i 1 były pierwiastkami wielomianu W(x)=(ax+b)(x²+b)

AC: 2. W(−2)=0 i W(1)=0 ⇒

	1
(a+b)(1+b)=0 i (b−2a)(4+b)=0 ⇒(a;b)={(−		; −1), (4; −4)}
	2

Artur_z_miasta_Neptuna: AC −−− dla ambitnych maturzystów to miało być

AC: OK! Ja byłem bardzo ambitnym maturzystą

Kipic: w 1 najprosciej podstawiac po kolei podzielniki wyrazu wolnego czyli 1 2 4 8 −1 −2 −4 −8 i potem wyliczyc m wydaje mi sie ze mozna tak zrobic a 2 sposob ale nie jestem to z takm czyms np : −(x−1)(x²−xb−b) ale nie wiem jak to zapisac

Kipic: bylem blisko czy jescze dluga droga

Tad: ... jak wszystko w tej naszej matematyce można na kilka sposobów − Ważne by po dobrej ścieżce i nie pobłądzić − ... no i za wiele nie napracować się −

Tad: ... podpowiem Ci Kipic, że sprawdzając W(2) ... stwierdzisz coś interesującego −

Kipic: no 0 = 0 czyli dla 2 chyba napewno nie bedzie

Tad: A wracając do zadanka nr.2 ... AC chyba nam jeszcze podpowie jak wyznaczyć te a i b nie grzęznąc w tym układzie równań −

Tad: co nie będzie?−

Kipic: skoro gdy podstawiamy pod x 2 i wychodzi 0 = 0 to dla niewiadomo co podstawimy pod m to albo bedzie reszta albo nic nie bedzie rozwiazan (rozumowanie Kipica) hahaha

AC: Przecież to proste. (a+b)(1+b)=0 I przypadek 1+b=0 ⇒ b=−1

	b
i wtedy drugie równanie będzie spełnione gdy b−2a=0 ⇒ a=		= −1/2
	2

II przypadek a+b=0 ⇒ a=−b wtedy drugie równanie będzie spełnione gdy b+4=0 ⇒ b=−4 i a= 4 i to koniec.

Tad: ... włącz myślenie− Dla x=2 masz wielomian "zeruje" się dla dowolnego m ... inaczej mówiąc x=2 jest jednym z pierwiastków wielomianu dla dowolnego m − walcz dalej −

Tad: ... oczywiście AC −

Kipic: wiec skoro tak twierdzisz dla tych dzielnikow z ktorych wyjdzie 0 = 0 to one sa pierwiastkami

Tad: to nie tak Wyszło tylko tyle i aż tyle, że x=2 jest pierwiastkiem wielomianu dla dowolnego m. Dzieląc W(x) przez (x−2) ... wyznaczysz P(x) ... który musi mieć kolejne dwa pierwiastki (do sprawdzenia dla jakiego m)

Kipic: czyli mozna tak zrobic i wtedy odczytac : (x−2)(x² + ax +b) ?

Tad: ...dokładnie

Kipic: no to teraz moze takie zadanie byc na maturze bede wiedzial juz jak zrobic

Tad: ... do pełnego rozwiązania jeszcze troszkę pozostało −

Kipic: wydawalo mi sie ze wiem .Ale jak zaczalem liczyc to gargamele mi wyszly .niewiem jak druga czesc obliczyc.

Cusack: mam pytanie bo rozw. AC, bo nie rozumiem tego za bardzo. W tym momencie np. " I przypadek 1+b=0 ⇒ b=−1

	b		1
i wtedy drugie równanie będzie spełnione gdy b−2a=0 ⇒ a=		=−		"
	2		2

Dlaczego drugie równanie będzie spełnione gdy b−2a=0?

Tad: (−x³+x²(2−m2)+x(2m2+4)−8):(x−2) otrzymasz −x²−m²x+4 Skoro nasz W(x) ma mieć trzy pierwiastki to P(x)=−x²−m²x+4 musi mieć pozostałe dwa zatem Δ>0 Δ=m⁴+16 jest większa od 0 dla dowolnego m Zatem dla dowolnego m nasz W(x) ma trzy pierwiastki ( z których jeden jest równy 2) Kiedy suma wszystkich pierwiastków jest max ?

Tad: ...do Cusack ... bo rozwiązuje układ równań Wyznacza z pierwszego i podstawia do drugiego −

Cusack: dzieki

Tad: To drugie zadanko można "kruszyć" również tak: 2. Wyznacz wartości a i b tak, by liczby −2 i 1 były pierwiastkami wielomianu W(x)=(ax+b)(x²+b) Skoro nasz wielomian musi mieć minimum dwa pierwiastki (x=−2 i x=1) to wiadomo, że musi mieć ich trzy. Wnika to z faktu, że (x²+b) może mieć dwa pierwiastki różne od 0 lub wcale Dwa pierwiastki będzie miał dla b<0 ... jednocześnie jednym z nich ma być −2 lub 1 Zatem b₁=−1 lub b₂=−4 Wyznaczenie odpowiednio a₁ i a₂ to już banał −