pochodna denatlu: Pytanie o pochodną. Jeżeli wielomian W(x) ma k pierwiastków, to W'(x) ma zawsze (k−1) pierwiastków?

PW: w(x)=(x−1)³ ma jeden pierwiastek i jego pochodna też jeden. Trzeba precyzyjniej sformułować twierdzenie. Intuicyjnie rzecz jest do zobaczenia (gdy wszystkie pierwiastki są różne) w ten sposób − miedzy pierwiastkami musi być ekstremum, a wiec pochodna ma tam miejsce zerowe.

denatlu: Bo mam wielomian W(x)=x³+px+q. Mam udowodnić , że gdy na trzy pierwiastki to p jest ujemne. W'(x)=3x²+p I myślałem, że skoro W(x) ma trzy pierwiastki, to W'(x) ma mieć dwa, to Δ>0 −12p>0 p<0

Artur_z_miasta_Neptuna: ale przecież: 3x² + p > p prawda więc gdy p>0 ... to pochodna jest dodatnia ... a co za tym idzie ... brak ekstremum i/lub punktów przegięcia ... a co za tym idzie ... brak możliwości, aby W(x) posiadał więcej jak jedno miejsce zerowe ... a ma trzy − czyli sprzeczne

denatlu: 3x² + p > p to prawda, ale jak to się ma do tego co napisałeś pod spodem?

Artur_z_miasta_Neptuna: 3x² > 0 dla dowolnego 'x' a więc ... aby wyrażenie 3x² + p =0 to p MUSI być ujemne. a dlaczego to wyrażenie musi być =0 wywód masz powyżej co się stanie ... jeżeli wyrażenie nie ma miejsca zerowego brak ekstremum = funkcja, która raz 'przebiła' oś OX 'nie zawróci' ku niej już nigdy więcej UWAGA Dotyczy to oczywiście funkcji ciągłych na R (a takimi są wielomiany w takiej postaci)

Artur_z_miasta_Neptuna: tfu tfu ... 3x² ≥ 0 dla dowolnego 'x'

denatlu: ok, dzięki już czaje. Przypomnij mi jeszcze co jest gdy pochodna wielomianu w punkcie x₁ jest równa 0, to ten wielomian co robi w tym punkcie

Artur_z_miasta_Neptuna: to wtedy jest jedna z dwóch możliwości: a) albo wielomian w tym miejscu 'zawraca' ... czyli masz ekstremum (minimum albo maksimum) ... przyklad f(x) = x² ... w punkcie x=0 b) albo wielomian zmienia 'krzywiznę' (wypukłość wklęsłość −−− przyklad f(x) = x³ ... w punkcie x=0)

denatlu: ok dzieki

tn: Czy moze ktoś pokazać jak należy rozwiązać to zadanie które podał denatlu ?

Artur_z_miasta_Neptuna: rozwiązanie napisałem ... po obliczeniu pochodnej konieczny jest komentarz z którego wynika, że dla q≥0 pochodna nie ma więcej jak jedno miejsce zerowe ... co za tym idzie W(x) nie posiada 3 miejsc zerowych jest to tzw. dowód niewprost