dsds Pawel: Udowodnić, że jeśli a,b,c są liczbami naturalnymi niepodzielnymi przez 3 to istnieje taka liczba naturalna k, że a²+b²+c²=3k.

PW: To proste. Liczba podzielna przez 3 ma postać 3p, p∊N, natomiast liczba niepodzielna przez 3 ma postać (1) 3p+1 lub 3p+2. Podnosząc do kwadratu liczbę postaci (1) otrzymamy (2) 9p²+6p+1 lub 9p²+12p+4. Po zsumowaniu trzech liczb postaci (2) dostajemy 6 składników podzielnych przez 3 oraz sumę trzech liczb, z których każda jest równa 1 lub 4, a więc "końcówkę": 1+1+1 lub 4+4+4 lub 1+1+4 lub 1+4+4 − w każdym z możliwych wypadków "końcówka" jest liczbą również podzielną przez 3.

AC: Z małego tw. Fermata a² == 1 mod3 b² == 1 mod3 c² == 1 mod3 dodając stronami a²+b²+c² == 0 mod 3 co kończy dowód

PW: No tak, ale jeśli ktoś nie słyszał w ogóle o "przystawaniu modulo" i tym bardziej o tw. Fermata, to też może rozwiązać (ja zawsze zakładam, że pyta licealista). Dobrze, że pokazujesz różnorodność podejścia − może ktoś zaintrygowany prostotą rozwiązania zainteresuje się teorią liczb?

uyuyuyuyu: dziekuje za pomoc