PW: 1.
26 liter, 10 cyfr. Razem 36 elementów, z których tworzymy 2−elementowe wariacje z powtórzeniami
(dwuznakowy kod to uporządkowana para (a,b), w której a i b oznaczają dowolne elementy spośród
36, przy czym elementy mogą się powtarzać − dlatego mówimy o wariacjach z powtórzeniami). Jak
wiadomo wszystkich takich wariacji jest 36
2. Zamiast liczyć ile jest elementów, w których
występuje co najmniej jedna litera, policzmy liczbę elementów, w których nie ma liter (czyli
zdarzenie przeciwne).
Dwuznakowych kodów złożonych z samych cyfr jest 10
2, a więc kodów, w których jest co najmniej
jedna litera jest
36
2−10
2.
Jeżeli rozróżniamy wielkie i małe litery, to mamy do wyboru 2•26+10 = 62 znaki, a więc
wszystkich kodów można utworzyć 62
2, a kodów, w których jest co najmniej jedna litera
62
2−10
2.
2. Utworzenie chorągiewki to wybór trzech kolorów z 8 i następnie uporządkowanie. Oznacza o
tworzenie 3−elementowych wariacji (bez powtórzeń) ze zbioru 8−elementowego. Wiadomo, że
wariacji takich jest
| | 8! | | 8! | |
|
| = |
| =6•7•8=... |
| | (8−3)! | | 5! | |
3 a) Opisanie wszystkich sposobów wsiadania 4 pasażerów do 7 wagonów to utworzenie wszystkich
możliwych funkcji
f:{A,B,C,D}→{1,2,3,4,5,6,7},
czyli 4−elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru 7−elementowego. Wiadomo, że funkcji
takich (czyli ciagów (x,y,z,t), w których każda z liczb x,y,z,t może przyjmować wartości od 1
do 7) jest
7
4=2401.
b) Opis wszystkich możliwych sposobów wsiadania 4 pasażerów − takich, w których każdy wsiada do
innego wagonu − to utworzenie wszystkich możliwych ciągów (x,y,z,t), w których każda z liczb
x,y,z,t jest inna. Sposobów takich (4−elementowych wariacji bez powtórzeń o wartościach w
zbiorze 7−elementowym) jest
| | 7! | | 7! | |
|
| = |
| = 4•5•6•7 = 20•42 = 840 |
| | (7−4)! | | 3! | |
c) Zajmowanie miejsc w 2 wagonach przez 4 pasażerów można opisać dwuetapowo: najpierw wybieramy
dwa wagony spośród 7 − można to zrobić na
sposobów − a następnie tworzymy czteroelementowe ciągi (x,y,z,t), w których x,y,z,t mogą
przyjmować wartości 0 lub 1 (każdy pasażer wsiada bądź do pierwszego, bądź do drugiego z
wybranych wagonów). Możliwości takich jest
2
4,
a więc 4 pasażerów może zajmować miejsca tylko w dwóch wagonach na
sposoby. Trzeba zwrócić uwagę, że w liczbie tej zawarte są również dwa przypadki, kiedy wszyscy
wsiedli do jednego z wybranych wagonów. Jeżeli rozumiemy treść zadania w ten sposób, że w
każdym z dwóch wagonów musi być co najmniej jeden pasażer, to te dwa szczególne przypadki
trzeba odjąć, a więc odpowiedź będzie:
