obliczyć ekstremum nastepujacej funkcji :) Mefir: f(x,y) = x² + xy + y² − 4lnx − 10y

Mefir: zawsze się mylę przy warunku koniecznym i nie iwem jak rozwiązać wynikający z niego układ równań by mieć dane punkty stabilne , tym samym nei jestem pewein co do wyliocznych pochodnych pierwszego rzędu −− ktoś może mi w tym pomóc

Basia: założenie: x>0 f'_x = 2x+y−⁴_x f'_y = x+2y−10 2x+y−⁴_x=0 x+2y−10=0 2y = 10−x

	10−x
y =
	2

	10−x		4
2x +		−		=0
	2		x

4x2−(10−x)*x − 8
	=0
2x

4x²−(10−x)*x−8=0 4x²−10x+x²−8=0 5x²−10x−8=0 Δ=100−4*5*(−8)=100+160=260 = 2*130=2*2*65=2*2*5*13 √Δ=2√65 wredne będą te rachunki, ale wykonalne

Basia: Mefir nie pomyliłam się. Przy funkcjach wielu zmiennych jest inaczej niż przy funkcji jedenj zmiennej. W>0 i f"_xx>0 ⇒ minimum W>0 i f"_xx<0 ⇒ maksimum Patrz: http://gkusztelak.wshe.lodz.pl/f2z_ekstrema.pdf albo http://pl.wikipedia.or/wiki/Ekstremum#Funkcje_okre.C5.9Blone_na_podzbiorach_p.C5.82aszczyzny albo jakikolwiek podręcznik analizy wielu zmiennych

Basia: Oj pomyliłam znaki (chochlik), może te rachunki nie będą takie wredne.

4x2+(10−x)*x−8
	=0
2x

4x²+10x−x²−8=0 3x²+10x−8=0 Δ=100−4*3*(−8)=100+96=196 √Δ=14 nie będą, dalej chyba sobie poradzisz

Basia: Link do Wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Funkcje_okre.C5.9Blone_na_podzbiorach_przestrzeni_unormowanych

Basia: P.S. Pamiętaj, że x>0

Mefir: a jakie punkty stabilne mają wyjść Bo mi wyszły jakieś dziwne P(2/3; 4/3) B(−4;7) i chyba cos poknociłem więc czy mogę prosić o pełne rozwiązanie

Basia: x₁ = ⁻¹⁰⁻¹⁴₆=⁻²⁴₆=−4 odpada, bo x musi być >0 x₂ = ⁻¹⁰⁺¹⁴₆=⁴₆=²₃ x=²₃

	10−23		283		28		14
y=		=		=		=
	2		2		6		3

jedyny możliwy punkt stabilny to P(²₃;¹⁴₃)

Mefir: i wyszło mi że jest brak ekstremum dal tego punktu stabilnego P(2/3;14/3). Ekstremum mi wychodzi dlla hesjana od tego punktu : −15 <0 brak ekstremum a mają ponoc wysjc . Minimum w punkcie (1;2) . Wiec ja nei wiem co jest z tym zadaniem...

Mefir: chyba ze zel policzylem pochodne 2 rzedu i zel obliczylem hesjana dla poszczegolnych pochodnych −− wiem tumanek ze mnie i sorki za to

Basia: Policzę to od początku do końca i napiszę jaki powinien być wynik, ale sprawdź najpierw czy na pewno podałeś poprawny wzór funkcji. Czekam na potwierdzenie lub korektę.

AS: Pozwólcie,że i ja wtrącę swoje trzy grosze. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Warunek wystarczający 1. f’x(xo,yo) = 0 i f’y(xo,yo) = 0 2. W(xo,yo) = f ’xx(xo,yo)*f ’yy(xo,yo) – [f ’xy(xo,yo)]² > 0 przy czym gdy f ’xx(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) maksimum lokalne gdy f ’xx(xo,yo) > 0 w punkcie (xo,yo) minimum lokalne Jeśli W(xo,yo) = 0 przypadek wątpliwy,badać osobno Jeśli W(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) brak ekstremum f(x,y) = x² + xy + y² − 4lnx − 10y Zał.: x > 0 f'x = 2*x + y − 4/x f'y = x + 2*y − 10 Rozwiązaniem tego układu x1 = −4 ,y1 odpada z uwagi na założenie x2 = 2/3 , y2 = 14/3 f'xx = 2 + 4/x² f'xx(2/3,14/3) = 2 + 4*9/4 = 11 f'yy = 2 f'xy = 1 W = 11*2 − 1² = 21 > 0 W punkcie M(2/3,14/3) zachodzi minimum Wartość minimum: −21 1/3 − 4*ln(2/3) = −22.955

Mefir: BAsiu wzór funkcji wyjściowej jest na pewno dobry − no chyba ,że już Krysicki ma w cholere mega błędów w swych skryptach

Mefir: dzięki AS

Basia: U Krysickiego jest sporo błędów w odpowiedziach. Jeżeli w odpowiedzi jest to co podałeś: minimum w punkcie (1,2), a wzór funkcji jest dobry to jest to zwyczajny błąd w książce.

Mefir: no i tak to jest niestety , ale dzięki stokroć za pomoc