mam problem z takim rówaniem porytym jak dla mnie :D Mefir: 6x² + y² −2y=0

Basia: A co masz z nim zrobić ? Bo to jest równanie elipsy o ogniskowych √¹₆ (pozioma) i 1 (pionowa) przesuniętej wzdłuż osi OY o 1 w górę (inaczej o wektor u^→=[0;1]).

Basia: Oczywiście nie ogniskowych tylko półosiach a i b.

Mefir: zajmuje sie oebcnie ektreumm funkjci 2 zmeinnych i mam pecha z takim ukaldem rownan : 6x² +y² +2y=0 2xy +y²=0

Basia: 6x²+y²−2y=0 (y−1)² = y²−2y+1 y²−2y = (y−1)²−1 stąd równanie ma postać: 6x² + (y−1)² − 1 = 0 6x² + (y−1)² = 1

x2		(y−1)2
	+		= 1
16		1

x2		(y−1)2
	+		= 1
(√16)2		12

czyli mamy równanie elipsy:

	√6
a=√16=
	6

b=1 środek symetrii S(0,1)

Mefir: coś mi tu nie gra bo to raczej mi nie będzie potem kolidowało z dalszymz daneim przy obliczaniu kolejncyh pochdonych czastkowych i punktow satbilnych

Basia: Dobrze, ale co z tym trzeba zrobić? Rozwiązać?

Mefir: no ale skoro tak ma to wygaldac to kto wie − dzieki z apomoc i szczere chceci

Mefir: no tak rozwiazc by wyliczyc "x" i y"

Basia: Skąd te równania się wzięły? Napisz może treść zadania od początku do końca, bo inaczej chyba się nie dogadamy.

Mefir: zbdaja ekstremum funkcji f(x,y)= 2x³ + xy² + 5x² + y²

Mefir: i przy tym punkcie gdzie trzeba ukald rownan rozwiazc by wycziac punkty satbilne to sie zacialem

Mefir: dobra ja sobei myakam , i zycze powdzenai w tym moim problemei −− dzieki za pomoc

Basia: Jedynym rozwiązaniem równania (1) jest para liczb x=0 y=0. Wynika to z tego co napisałam wyżej o elipsie. Drugie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są nimi pary: (x,0) gdzie x dowolne (x,−2x) gdzie x dowolne. Rozwiązaniem układu jest para x=0 y=0. Jeśli to o to chodzi, bo nie jestem pewna. Patrz wpis wyżej.

Basia: Źle masz policzone pierwsze pochodne. f(x,y) = 2x³+xy²+5x²+y² f'_x = 6x²+y²+10x f'_y = 2xy+2y 6x²+y²+10x=0 2xy+2y=0 2xy = −2y x = −1 −−−−−−−−−−−− 6*(−1)²+y²+10*(−1)=0 6+y²−10=0 y²−4=0 (y−2)(y+2)=0 y=2 lub y=−2 ekstrema lokalne mogą być w punktach (−1,−2) (−1,2) f"_xx=12x+10 f"_xy=2y f"_yx=2y f"_yy=2x+2 f"_xy=f"_yx czyli jest szansa na ekstrema potrafisz to skończyć ?

Basia: Poprawka: 2xy+2y=0 2y(x+1)=0 (y=0 i x dowolne) lub (x=−1 i y dowolne) 1. y=0 ⇒ 6x²+10x=0 2x(3x+5)=0 x=0 lub x=−⁵₃ czyli "podejrzane"o ekstremum mogą być punkty A(0,0) B(−⁵₃,0) 2. x=−1 ⇒ 6+y²−10=0 y²−4=0 (y−2)(y+2)=0 y=2 lub y=−2 czyli "podejrzane"o ekstremum mogą także być punkty C(−1,−2) D(−1,2) dla A(0,0) f"_xx=10 f"_xy=0 f"_yx=0 f"_yy=2 W=10*2−0*0=20 W>0 i f"_xx>0 ⇒ w punkcie A(0,0) jest minimum lokalne dla B(−⁵₃,0) f"_xx=−20+10=−10 f"_xy=f"_yx=0 f"_yy=−⁴₃ W=−10*(−⁴₃)−0*0=⁴⁰₃ W>0 i f"_xx>0 ⇒ w punkcie B(−⁵₃,0) jest minimum lokalne dla C(−1,−2) f"_xx=−12+10=−2 f"_xy=f"{yx}=−4 f"₍yy}=0 W=−2*0−(−4)*(−4) = −16 W<0 ⇒ w punkcie C nie ma ekstremum dla D(−1,2) f"_xx=−12+10=−2 f"_xy+f"_yx=4 f"_yy=0 W=−2*0−4*4=−16 W<0 ⇒ w punkcie D nie ma ekstremum

Mefir: ta reszte bym sobei zrobił , ale stokroć dzięki . Nie no faktiko zle policzylem pochodne pierwszego rzeduy . ZYcie hehe . Ale dziękówa za pomoc

Mefir: mała uwaga dla B jest maksimum a nie minimum po obliczeniu hesjanów i pochodnej drugiego rzędu

Basia: Mefir nie pomyłiłam się. Przy funkcjach wielu zmiennych jest inaczej niż przy funkcji jesdenj zmiennej. W>0 i f_xx>0 ⇒ minimum W>0 i f_xx<0 ⇒ maksimum Patrz: http://gkusztelak.wshe.lodz.pl/f2z_ekstrema.pdf albo http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Funkcje_okre.C5.9Blone_na_podzbiorach_p.C5.82aszczyzny albo jakikolwiek podręcznik analizy wielu zmiennych