Granica ciągu, Ola: Korzystając z definicji granicy ciągu, wykaż, że liczba 1 jest granicą ciągu o wyrazie ogólnym an=(n+1)/(n+3) . Ktokolwiek widział ktokolwiek wie, chylę czoło prosząc o pomoc.

PW: Zgodnie z definicją należy wykazać, że dla dowolnej ε>0 wyrazy ciągu a_k różnią się od 1 o mniej niż ε, jeśli tylko numery k są większe od pewnej n_ε. Należy więc rozwiązać nierówność (1) |a_k−1|<ε

	k+1
|		−1|<ε.
	k+3

	k+1		k+3
|		−		|<ε
	k+3		k+3

	−2
|		|<ε
	k+3

	2
		<ε
	k+3

	2
k+3>
	ε

	2
k>		−3.
	ε

	2
Widać, że nierówność jest spełniona dla wszystkich k≥nε=[		−2]. Ten ostatni zapis [.]
	ε

oznacza część całkowitą liczby (idzie o to, żeby liczba n_ε była liczba naturalną − nie wszyscy tego wymagają − zobacz jak jest w przyjętej przez Was definicji granicy ciągu). Pokazaliśmy, że dla dostatecznie dużych k wyrazy ciągu spełniają nierówność (1), co oznacza, że granicą ciągu jest 1.