ciag Magda: Dany jest ciąg a_n=(−1)ⁿ⁺¹*(2n−1) a)uzasadnij,że a_n nie jest ciągiem arytmetycznym.

Dominik: powtorka z teorii: kiedy ciag mozna nazwac ciagiem arytmetycznym?

krystek: a_n+1−a_n=(−1)ⁿ⁺¹⁺¹*[2(n+1)−1]−[(−1)ⁿ⁺¹(2n−1)]= ... nie jest równe r(stałej)

Janek191: a₁ = (−1)² *(2*1 − 1) = 1 *1 = 1 a₂ = (−1)³ *(2*2 −1) = − 1*3 = − 3 a₃ = (−1)⁴ *( 2*3 − 1) = 1*5 = 5 wiec a₂ − a₁ = − 3 − 1 = − 4 oraz a₃ − a₂ = 5 − (−3) = 8 i dlatego ciąg (a_n) nie jest arytmetyczny.

krystek: Ale nalezy wykazać !

Magda: b)oblicz sume stu jeden początkowych wyrazów ciągu a_n

Magda:

Dominik: a ciag a_n wyrazony jest jakim wzorem?

Janek191: a₁ = 1 a₂ = − 3 a₃ = 5 a₄ = (−1)⁵ *(2*4 − 1) = − 1*7 = − 7 a₅ = (−1)⁶*(2*5 − 1) = 1*9 = 9 a₆ = (−1)⁷ *( 2*6 − 1) = − 1*11 = − 11 czyli ciąg ( a_n) ma wyrazy dodatnie o numerach nieparzystych i wyrazy ujemne o numerach parzystych. Niech b₁ = a₁, b₂ = a₃ , b₃ = a₅ . .... oraz c₁ = a₂, c₂ = a₄, c₃ = a₆, ... Ciąg ( b_n) jest c. arytmetycznym o różnicy r = 4 i ciąg ( c_n ) jest c. arytmetycznym o różnicy r = − 4 zatem S₁₀₁ = Sb₅₁ + Sc₅₀ b₁ = 1 oraz r = 4 b₅₁ = a₁₀₁ = ( −1)¹⁰²* ( 2*101 − 1) = 1*201 = 201 więc Sb₅₁ = 0,5 *( b₁ + b₅₁) *51= 0,5 *( 1 + 201)*51 = `101*51 = 5151 c₁ = a₂ = − 3 oraz r = − 4 c₅₀ = a₁₀₀ = ( −1)¹⁰¹ *( 2*100 − 1) = − 1*199 = − 199 więc Sc₅₀ = 0,5 *( c₁ + c₅₀ ) *50 = 25*( − 3 − 199) = 25*( − 202) = − 5050 zatem S₁₀₁ = 5151 − 5050 = 101 ========================== Łatwo wykazać, że ciąg ( b_n) i ciąg ( c_n ) są ciągami arytmetycznymi.

Janek191: b) a₁ = 1 a₂ = − 3 a₃ = 5 a₄ = (−1)⁵ *(2*4 − 1) = − 1*7 = − 7 a₅ = (−1)⁶*(2*5 − 1) = 1*9 = 9 a₆ = (−1)⁷ *( 2*6 − 1) = − 1*11 = − 11 czyli ciąg ( a_n) ma wyrazy dodatnie o numerach nieparzystych i wyrazy ujemne o numerach parzystych. Niech b₁ = a₁, b₂ = a₃ , b₃ = a₅ . .... oraz c₁ = a₂, c₂ = a₄, c₃ = a₆, ... Ciąg ( b_n) jest c. arytmetycznym o różnicy r = 4 i ciąg ( c_n ) jest c. arytmetycznym o różnicy r = − 4 zatem S₁₀₁ = Sb₅₁ + Sc₅₀ b₁ = 1 oraz r = 4 b₅₁ = a₁₀₁ = ( −1)¹⁰²* ( 2*101 − 1) = 1*201 = 201 więc Sb₅₁ = 0,5 *( b₁ + b₅₁) *51= 0,5 *( 1 + 201)*51 = `101*51 = 5151 c₁ = a₂ = − 3 oraz r = − 4 c₅₀ = a₁₀₀ = ( −1)¹⁰¹ *( 2*100 − 1) = − 1*199 = − 199 więc Sc₅₀ = 0,5 *( c₁ + c₅₀ ) *50 = 25*( − 3 − 199) = 25*( − 202) = − 5050 zatem S₁₀₁ = 5151 − 5050 = 101 ========================== Łatwo wykazać, że ciąg ( b_n) i ciąg ( c_n ) są ciągami arytmetycznymi.

Janek191: Dowód, że ciąg ( b_n) jest arytmetyczny : Wyrazy ciągu b_n to nieparzyste wyrazy ciągu a_n zatem n = 2k − 1 i n+ 1 = 2*(k + 1) − 1 = 2k + 2 − 1 = 2k + 1 więc b_n = b_{2k − 1} = (−1)^{2k − 1 + 1} * ( 2*( 2k − 1) − 1) = 4k − 3 b_n+1 = b_{2k +1} = ( −1){2k + 1 + 1) * ( 2*(2k + 1) − 1) = 4k + 1 więc b_{n + 1} − b_n = ( 4k + 1) − ( 4k − 3) = 4 zatem ( b_n) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 4.