Granica Basiek: Granica! Bry, mam problem z taką oto właśnie granicą, którą ciężko mi ruszyć: lim_x→4 (16−x²)⁻¹*ctg³[3(4−x)]*sin[6(x−4)⁴] Początkowo wydawało się proste..., ale chyba jednak nie. Za pomoc z góry dziękuję.

Trivial:

	sinu
Wygląda na to, że trzeba wszystko sprowadzić do		gdzie u→0. Reszta pewnie nie będzie
	u

sprawiać problemu.

Basiek: Ale dojście do tej postaci... to chyba raczej spore wyzwanie. Rozumiem, że część z "u" załatwi mi tu 16−x². Ale ten ctg³(t), można to w ogóle rozbijać na (cost/sint)³?

Trivial: Można, bo 3(4−x) dąży do zera, ale zera nigdy nie osiąga.

Trivial:

	1
Wyszło mi		.
	36

Mila: ma być sin⁴[6(x−4)] czy sin[6(x−4)⁴]

Basiek: Może znów źle będzie, ale...

	sin[6(x−4)4]*cos3(3(4−x))		0*1		0
lim{x→4}		=[		]=		=? Czy mogę
	(16−x2)*sin3(3(4−x))		0*0		0

użyć de l'Hospitala? Czy raczej mogę się nie doliczyć?

Basiek: Mila− zdecydowanie to drugie, przepisywałam uważnie. Trivial− szczerze, nie znam wyniku. To jest zadanie z pierwszego terminu egzaminu.

Trivial:

	sinu
Żadnego de l'Hospitala! Wszystko wychodzi z
	u

	1		cos3(3(4−x))
f(x) =		*		*
	16−x2		sin3(3(4−x))   (3(4−x))3 (3(4−x))3

	sin(6(x−4)4)
*		6(x−4)4
	6(x−4)4

I to się upraszcza do: x→4

	6(x−4)4
lim f(x) = lim
	(16−x2)(3(4−x))3

Reszta dąży do 1.

Basiek: Chcę wyrazić swoje uczucia. O MASAKRA. Dziękuję. Bardzo. Z pewnością bym na to wpadła sama... Zapewne. Masz chwilkę na jeszcze jedno? ;>

Trivial: Basiek, te zadanka z granicami trygonometrycznymi zazwyczaj sprowadzają się do użycia tego

	sin(u)
wzoru		→ 1 przy u→0, gdzie u może być skomplikowane! Nawet jeśli nie rozwiąże to
	u

wszystkich problemów, to prawdopodobnie uprości ich znaczną część. Chwilkę mam.

Basiek: Szczerze mówiąc, to my za bardzo w to nie wchodziliśmy. Zrobiliśmy 50 mało skomplikowanych przykładów i cacy. Na pewno nie tak skomplikowanych... Sądzę, że więcej nie będzie potrzebne niż "chwilka". Obliczyć pochodną, niestety z definicji:

	5
f(x)=
	log3x+2

czyli...

	5   5   − log3x*log3Δx+2   log3x+2
limΔx→0		=...
	Δx

Iii... wysiadłam.

Mila: Inaczej mi wychodzi ta granica z 21:02

	lnx
log3x=
	ln3

Mila: liczę pochodną.

Basiek:

	1
Pytałam jeszcze kogoś i też wyszło mi		.
	36

Co do pochodnej− dowiedziałam się, że można jeszcze z takiej def.

	f(x)−f(x0)
lim{x→x0}		=...
	x−x0

i teraz wychodzi prościej. Dużo prościej. Dochodzę jednak do postaci...

	5(log3x0−log3x)		x0   5(log3 )   x
lim{x→x0}		}=lim{x→x0}		}=...
	x−x0		x−x0

	x0
Generalnie zastanawia mnie teraz bardzo, czy		przy takim lim →1
	x

Trivial: Już wiem jak... Nie są takie trywialne te zadanka!

	5ln3
f(x) =
	ln(9x)

	5ln3		1		1
f'(x) = lim		(		−		)
	Δx		ln(9(x+Δx))		ln(9x)

	5ln3	ln(9x)−ln(9(x+Δx))
= lim
	Δx	ln(9(x+Δx))ln(9x)

	x   1Δxln( )   x+Δx
= lim 5ln3
	ln(9(x+Δx))ln(9x)

	x   ln( )1/Δx   x+Δx
= lim 5ln3
	ln(9(x+Δx))ln(9x)

Teraz...

	x		Δx
g = lim (		)1/Δx = lim (1−		)1/Δx = lim e−1/(x+Δx)
	x+Δx		x+Δx

A zatem...

	−1/x		5ln3
f'(x) = 5ln3*		= −		.
	ln2(9x)		xln2(9x)

Trivial: Basiek, nie zapominaj że masz logarytm w mianowniku (albo to jakiś duży skrót myślowy).

Basiek: Po primo− wow! po secundo− dziękuję. Po tetrio− zauważyłam, że nie takie proste, trochę nad nimi siedzę, całe szczęście nie są moje. I nie, to nie był skrót myślowy..., chyba nawet nie wiem, z jakiej okazji powinien znaleźć się tam logarytm. I ... jeszcze raz dziękuję.

Trivial: Widzę zadania w sam raz na egzamin. Oba.

Basiek: Bo oba się na nim zlazły. Energetyka I rok, AGH.

Trivial: Z tego co pamiętam to też miałem ciekawy egzamin na pierwszym semestrze. Ale trochę inne rzeczy były...

Basiek: O AGH wiem więcej niż przeciętny student AGH. W każdym razie− znajomi mieli na Twoim wydziale i tam bodajże 4 to była najlepsza ocena. Przy czym chyba jednostkowa. Więc wierzę, że ciekawie było.

Mila: Pisać, czy policzyłaś?

Trivial: Mila, policzyłem wyżej tę pochodną. Basiek, to chyba nie mój rocznik. U nas była chyba z jedna piątka.

Basiek: Mila− mojego NIE doliczyłam, ale o ile dobrze zrozumiałam, jest tam błąd.

	x0
Ponadto dowiedziałam się, że nie mogę stwierdzić, że		przy takim lim →1 ...
	x

i Asdf też podsunie mi jakieś rozwiązanie. Także dziękuję, Milu, ale nie musisz się trudzić.

Mila: No, już jest, ja mam trochę inny zapis, ale to samo wyszło. I wyłączyłam w liczniku (−1) na początku, aby z Eulera łatwiej było korzystać.

Trivial:

	x0
Możesz!		→ 1...
	x

Basiek: Myślę, że z matematyki wyniki wszędzie są raczej.... podobne. Przyznaję, że u nas też powalające nie były. A zadania na pewno były sporo prostsze od tych powyżej.

Basiek: Trivial− przyjęłam. Nie krzyczymy. Dobrze wiedzieć, chociaż mam nadzieję, że ominie mnie w życiu wątpliwa przyjemność liczenia granic.

asdf:

	5   5   −   log3(x) + 2   log3(x0) + 2
limx−>x0		=
	x−x0

	1   1   5( − )   log3(x) + 2   log3(x0) + 2
limx−>x0		=
	x−x0

	log3(x0) +2 − (log3(x) + 2)   5( )   (log3(x) + 2)(log3(x0) + 2)
limx−>x0		=
	x−x0

	log3(x0) − log3(x)   5( )   (log3(x) + 2)(log3(x0) + 2)
limx−>x0		=
	x−x0

A = (log₃(x)+2)(log₃(x₀) + 2)

	log3(x0) − log3(x)   5( )   A
limx−>x0		=
	x−x0

	x0   5( log3 )   x
limx−>x0)		=
	A(x−x0)

	1 + x0   5( log3 − 1)   x
limx−>x0)		=
	A(x−x0)

	x0   5( log3 (1+ − 1) )   x
limx−>x0)		=
	A(x−x0)

	x0 − x   5( log3 (1+ ) )   x
limx−>x0)		=
	A(x−x0)

	x0 − x   1   5( log3 (1+ ) * )   x   x
limx−>x0)		=
	1   A(x−x0) *   x

"zminusowałem"

	x0−x]]   1   −5(log3(1+ )* )   x   x
limx−>x0)		=
	x0 − x   A*   x

x0−x   log3(1+ )   x
	→ log3e
x0−x     x

	−5log3e
limx−>x0		=
	x * A

	−5log3e
limx−>x0		=
	x * (log3(x)+2)(log3(x0) + 2)

jak x−>x₀ to jest:

	−5log3e
limx−>x0		=
	x0 * (log3(x0)+2)(log3(x0) + 2)

	−5log3e
limx−>x0		=
	x0 *(log3(x0)+2)2

Trivial: Wow, asdf, startujesz w zawodach na najdłuższy post?

asdf: tak, moglem dac wieksze odstepy

Basiek: Dzięęęęękuję. Trivial− czepiasz się. To piękny post jest! W ogóle− mogę mieć pytanie poza tematem? Po co to się w ogóle liczy z definicji, skoro można ze wzoru? Czy to ma jakiś sens?

asdf: Ma sens − ukryte liczenie granicy.

Trivial: Basiek, liczenie z definicji miało sens przed wynalezieniem wzorów z tabelki.

Basiek: Liczenie granicy jest... złem. Okej, tak właśnie myślałam, że to mogło mieć kiedyś sens. Ale obecnie... jednak bez sensu. Z pewnością wiedziałam to też podświadomie, gdy tego typu zadania omijałam szerokim łukiem.

Mila:

	5ln3
f(x)=
	ln(9x)

	1   1   − ln(9(x+h))   ln(9(x)
limh→0(5ln3)*		=
	h

	ln(9(x))−ln(9(x+h))
=limh→0(5ln3)*		=
	h*(ln(9(x+h)*ln(9x)

	9(x+h)   ln   9x
=limh→0(−5ln3)*		=
	h*ln(9(x+h))*ln(9x)

	h   ln(1+ )1/h   x
=limh→0(−5ln3)*		=
	ln(9(x+h))*ln(9x)

	h   ln((1+ )x/h)1/x   x
=limh→0(−5ln3)*		=
	ln(9(x+h))*ln(9x)

	lne1/x		(−5ln3)
=(−5ln3)*		=
	ln2(9x)		xln2(9x)

Mila: Tyle linijek co u Triviala i ten sam sposób, inny zapis.

Basiek: Milu, dziękuję Ci bardzo.

Mila: No, ja tak poza programem, bo rozwiązania już miałaś. Teraz wybieraj, kompiluj.

Basiek: Każde rozwiązanie ma swoją mocniejszą stronę. I jakąś słabszą. W każdym razie− w każdym mam jakiś ulubiony moment. Postaram się 'ogarnąć', trochę mi to zadanie nadepnęło na ambicję (już i tak trochę pogniecioną). Wydawało się prostsze!

Trivial: Milu, to chyba nawet dokładnie to samo, tyle że zamiast Δx jest h.

Basiek: Trivial, ja Ci powiem, ze to h jest właśnie mocną stroną tego rozwiązania! A Ty się naprawdę czepiasz szczegółów.

Trivial: Ja się nie czepiam... Czemu odbierasz to złowrogo?

Basiek: Czemu odbierasz słowo 'czepiać się', 'złowrogo'?

Trivial: A nie jest złowrogie?

Basiek: Jeśli chcesz, to specjalnie dla Ciebie− może być.

Mila: Hej, dzieci, nie kłócić się. ::

Basiek: Chciałabym powiedzieć, że ja się właśnie nie kłócę. Pozwalam Trivialowi wybrać nawet wersję wydarzeń, która mu bardziej pasuje. Z pewnością zasłużył.

Trivial: Eh. Złowrogie nastawienie...

Basiek: Ja nie. Zaznaczam. Jestem ostatnio prospołeczna. Do rany przyłóż. Chodzące dobro, etc. Tego się trzymamy. A Ty możesz mieć złowrogie nastawienie... albo nie mieć. Jak sobie chcesz. Ja się zdecydowanie zgadzam. Za te wszystkie zadania przytaknę każdej herezji, jestem Twoją... no, chyba dłużniczką.

Trivial: Staram się nie wygłaszać herezji.

Basiek: A czy ja powiedziałam, że je wygłaszasz? Albo starasz się wygłaszać? Albo cokolwiek?

Trivial: Nie.

Basiek: To świetnie. Doszliśmy do konsensusu!

Mila: Dobranoc

Trivial: Dobranoc, Milu.

Basiek: Branoc, Mila. Jeszcze raz dziękuję.