Zadania AS: Moje propozycje do łamania głowy. Kto chce niech liczy,ale przymusu niema. Zadanie 1 (łatwe) Między napisanymi cyframi postaw znaki takich działań arytmetycznych, by się spełniały tu podane równości a) 1234 = 2 b) 12345 = 2 c) 123456 = 2 d) 1234567 = 2 Zadanie 2.(łatwe) Przy jakich podstawach numeracji równania te spełniają się a) 2421 = 34² b) 264 = 15² Zadanie 3 (łatwe) Czy liczba x = √4 + √7 − √8 − 2*√7 − √2 jest dodatnia,ujemna czy zero. Zadanie 4 (łatwe) Dowieść,że wyrażenia a) log(8 + 3*√21) b) 2*log6 + log(33 + 19*√3) −−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− . log(1 + √21) − log2 log(√3 − 1) − log2 − 1/2*log3 są liczbami całkowitymi Zadanie 5 (trudne) Obliczyć bez użycia tablic P = tg20^o*tg40^o*tg60^o*tg80^o

Mariusz: Zad 1 a) −1+2−3+4=2 b) (−1)*2+3−4+5=2 c)(−1)*2+34−5*6=2 d)1+23+45−67=2

Mariusz: Asie co to sa podstawy numeracji

Mariusz: Zad3 x=2+√√7−2√2+2√√7−√2 x=2+3√√7−3√2 x=2+3(√√7−√2) wiemy że √7 ≈2,65 z tego wynika ze różnica w nawiasie jest dodatnia czyli całe wyrażenie jest dodatnie

AS: Odpowiadam na zapytania Mariuszowi zadanie 1 − znak arytmetyczny ma się znajdować między podanymi cyframi, a więc −1 jest niedopuszczalne Zadanie 2 − chodzi czy podane wyrażenia są zapisane w systemie dwójkowym,trójkowym czy innym. Zadanie 3 − błędnie podałem.Powinno wyglądać x = √ (4 + √7) − √ (4 − √7) − √2

Bogdan: Dzień dobry. Trzeba również poprawić Mariusza w zadaniu 3 (w pierwotnej wersji tego zadania). Mariuszu, √4 + √7 ≠ 2 + √√7, a także √8 −2√7 ≠ 2√2 − 2√√7. Błąd, który popełniłeś jest bardzo poważnym błędem, to tak, jakby ktoś powiedział, że 2 * 3 = 5. √a * b = √a * √b, √a : b = √a : √b, ale √a + b ≠ √a + √b oraz √a − b ≠ √a − √b

Mariusz: kurcze no ale sie złapałem, zapomniałem że tak jest tylko przy mnożeniu

Bogdan: Sformułowanie: "podstawa numeracji" nie jest zbyt poprawne, chociaż intuicyjnie można się domyśleć sensu tego zwrotu. Można treść zadania zredagować następująco: Wyznaczyć podstawę pozycyjnego systemu liczbowego, w którym zachodzą równości: a) 2421 = 34², b) 264 = 15². Podaję rozwiązanie przykładu b). Oznaczenie: p − szukana podstawa pozycyjnego systemu liczenia, p∊N₊ Równanie 264 = 15² przyjmuje postać: 2p² + 6p¹ + 4p⁰ = (1p¹ + 5p⁰)² 2p² + 6p + 4 = p² + 10p + 25 p² − 4p − 21 = 0 p = −3, nie spełnia warunków zadania, lub p = 7. Sprawdzenie: 2*7² + 6*7 + 4 = 144 (7 + 5)² = 144. Odp.: Równanie jest zapisane w systemie siódemkowym. Przykład a) rozwiązuje się podobnie.

AS: Zapis podany był wzięty z jakiegoś zbioru zadań,nie pamiętam jakiego.

AS: Bogdanie! Nie wiem skąd się wzięło (7 + 5)² = 144

Bogdan: Odpowiadam. 264 = 15² Lewa strona: L = 264 = 2p² + 6p¹ + 4p⁰ Prawa strona: P = 15² = (1p¹ + 5p⁰)² p = 7: L = 2*7² + 6*7¹ + 4*7⁰ = 98 + 42 + 4 = 144 P = (1*7¹ + 5*7⁰)² = (7 + 5)² = 12² = 144

Bogdan: Uzupełniam zadanie 1 o kolejne działania: Między cyfry wstawić znaki działań arytmetycznych, tak, aby spełnione były równości: 12 = 2 123 = 2 1234 = 2 12345 = 2 123456 = 2 1234567 = 2 12345678 = 2 123456789 = 2

Bogdan: Zadanie 4.

	log(8 + 3√21)
a)		= c, c∊ℂ
	log(1 + √21) − log2

	1 + √21
log(8 + 3√21) = c*log
	2

	1 + √21
log(8 + 3√21) = log(		)c
	2

	1 + √21
8 + 3√21 = (		)c
	2

Szukamy c∊ℂ:

	1 + √21		22 + 2√21		11 + √21
dla c = 2: (		)2 =		=		≠ 8 + 3√21
	2		4		2

	1 + √21		1 + 3√21 + 63 + 21√21
dla c = 3: (		)3 =		=
	2		8

	64 + 24√21
=		= 8 + 3√21
	8

	log(8 + 3√21)
Odp.:		= 3
	log(1 + √21) − log2

Podobnie rozwiązuje się przykład b).

AS: Podaje odpowiedzi do zadań 1−4. Zadanie 1 (posiada wiele rozwiązań 1*2 = 2 1 − 2 + 3 = 2 1*2*3 − 4 = 2 (1*2*3 + 4) : 5 = 2 (1 + 2)*3 + 4 − 5 − 6 = 2 1*2*3 + 4 + 5 − 6 − 7 = 2 1 − 2 + 3 + 4 + 5 + 6 − 7 − 8 = 2 1 + 2*3*4 − 5 + 6 − 7 − 8 − 9 = 2 Zadanie 2 a) p = 5 b) p = 7 Zadanie 3 0 Zadanie 4 a) 3 b) −5

Eta: A zad 5/ P = 1

AS: nie

Basia: Ad.5 P=3 patrz: http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=3&t=2999

Eta: Ok już teraz wiem dzięki Basia.

Bogdan: Dobry wieczór. Widzę, że odpowiedzi są już podane, myślę, że warto przedstawić rozwiązania. Zadanie 1. Dla niektórych przypadków można znaleźć różne rozwiązania, dla przykładu podam inne od podanych przez Asa zapisy dla: 12345678 = 2 oraz 123456789 = 2. 1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + 7 − 8 = 2. 1 + 2 − 3 + 4*5 + 6 − 7 − 8 − 9 = 2. Zadanie 2a. 2421 = 34² p∊N₊ 2p³ + 4p² + 2p + 1 = (3p + 4)² ⇒ 2p³ − 5p² − 22p − 15 = 0 ⇒ p = 5. Równość 2421 = 34² jest zapisana w systemie piątkowym. Zadanie 2b jest rozwiązanie. Zadanie 3 jest rozwiązane. Zadanie 4a jest rozwiązane. Zadanie 4b.

2log6 + log(33 + 19√3
	= c, c∊ℂ
1   log(√3 − 1) − log2 − log3   2

log36(33 + 19√3)		√3 − 1
	= c ⇒ 36(33 + 19√3) = (		)c
√3 − 1   log   2√3		2√3

L − lewa strona ostatniej równości, P − prawa strona tej równości. Szukamy liczby c∊ℂ spełniającej powyższą równość. Podstawiamy kolejno w miejsce c liczby: 2, −2, 3, −3, itd, do skutku,

	√3 − 1		2 − √3
np. dla c = 2: P = (		)2 =		≠ L
	2√3		6

dla c = −2: P = 6(2 + √3) ≠ L, dla c = −5: P = 36(33 + 19√3) = L.

	2log6 + log(33 + 19√3
Odp.:		= −5.
	1   log(√3 − 1) − log2 − log3   2

Zadanie 5 Przedstawię rozwiązanie krótsze od rozwiązania znajdującego się pod linkiem podanym przez Basię, chociaż zastosuję te same tożsamości trygonometryczne, czyli:

	tgα + tgβ		tgα − tgβ
tg(α + β) =		, tg(α − β) =		,
	1 − tgαtgβ		1 + tgαtgβ

	3 − tg2α
tg3α = tgα *		.
	1 − 3tg2α

tg60 = √3. Pomijam symbol stopnia ^o, czyli zapis tg20 oznacza tg20^o. tg20*tg40*tg60*tg80 = tg20 * tg(60 − 20) * √3 * tg(60 + 20) =

	tg60 − tg20		tg60 + tg20
= √3 * tg20 *		*		=
	1 + tg60 * tg20		1 − tg60 * tg20

	3 − tg220
= √3 * tg20 *		= √3 * tg(3 * 20) = √3 * √3 = 3.
	1 − 3tg220

AS: Podaję moją wersję rozwiązania zadania 5. Pomijam symbol stopnia sin20*sin40*sin60*sin80 L P = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = − cos20*cos40*cos60*cos80 M Zajmuję się mianownikiem Mamy sin2x = 2*sinx*cosx sin4x = 2*sin2x*cos2x sin8x = 2*sin4x*cos4x stronami mnożymy sin2x*sin4x*sin8x = 8sinx*cosx*sin2x*cos2x*sin4x*cos4x stronami dzielimy przez sin2x*sin4x sin8x = 8*sinx*A gdzie A = cosx*cos2x*cos4x W szczególności dla x = 20 mamy sin160 = 8*sin20*B gdzie B = cos20*cos40*cos80 Ale sin160 = sin(180 − 20) = sin20 Wobec czego sin160 sin160 1 B = −−−−− = −−−−−−−− = − 8*sin20 8*sin20 8 M = B*cos60 = 1/8*1/2 = 1/16 Licznik sin20*sin40 =1/2*(cos20 − cos60) Ponieważ sin100 = sin80 więc sin20*sin40*sin60*sin80 = 1/2*(cos20 − cos60)*√3/2*sin80 = √3/4*(cos20*sin80 − 1/2*sin80) = √3/4*[1/2(sin100 + sin60) − 1/2*sin80] = √3/8*sin60 = √3/8*√3/2 = 3/16 Zatem P = (3/16)/(1/16) = 3