pilne darkcarmell: W trójkącie prostokątnym abc o kącie ostrym 60 wpisano okrąg. Punkt styczności D tego okręgu z przeciwprostokątną ICBI dzieli ją na 2 odcinki ICDI i IDBI. Wykaż że IACI* IABI=2*ICDI*IDBI

Mila: środek okręgu wpisanego w Δ leży na przecięciu dwusiecznych kątów W ΔCEP:

	r
tg30=
	x

√3		r
	=
3		x

x=r√3 AC=r+r√3=r(1+√3)

	AC
Sin30=
	CB

1		r(1+√3)
	=
2		CB

CB=2r(1+√3) y=CB−x; ⇔y=2r+2r√3−r√3⇔y=2r+r√3 AB*AC=(r+2r+r√3)*r(1+√3)=(3r+r√3)*r(1+√3)= =r²(3+3√3+√3+3)=r²(6+4√3)=2r²(2√3+3) ICDI*IDBI=x*y=r√3*(2r+r√3)=r²(2√3+3)⇔ |AB|*|AC|=2*ICDI*IDBI

darkcarmell: dziękuje

Mila: