macierze, minor, rzedy macierzy algebraista: podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru mxn, przy min(m,n)≥3 z których jedna jest rzędu pierwszego, druga rzedu trzeciego. Odpowiedz uzasadnic odpowiednimi obliczeniami. JESTEM CIENKI BOLEK I NIE WYJASNILI MI NA LEKCJI CO TO MINOR WOGOLE a KAZA ROBIC TAKIE, PROSZE O JASNE WSKAZÓWKI MISTRZOWIE!

algebraista:

algebraista: Δ

algebraista: ∞

Trivial: Rząd oznacza: 1. Liczbę niezależnych liniowo kolumn. 2. Liczbę niezależnych liniowo wierszy. 3. Liczbę pivotów po eliminacji. 4. Liczbę "wartościowych" równań. 5. Wymiar największego niezerowego minora (niepraktyczne) Podam przykłady 2x3

	0 0 0 0 0 0
Rząd zero ma tylko macierz samych zer

	1 2 3 2 4 6
Taka macierz ma rząd 1:		(bo drugi wiersz to 2*pierwszy − jest zależny liniowo)

	1 3 2 6
Taka macierz również ma rząd 1:		(bo druga kolumna to 3*pierwsza)

	1 2 3 4
Taka macierz ma rząd 2:

Eliminujemy Gaussem i mamy:

1 2 3 4		1 2 0 −2
	→		dwa pivoty: 1, −2 (pivoty to niezerowe elementy na diagonalii)

algebraista: znaczy ze nie musze wogole wiedziec co to minor prawda? w tym poleceniu po prostu chodzilo o podanie przykladu macierzy rzedu 1 i 3 ?

Trivial: Tak. Minor to też nic skomplikowanego: wycinasz dowolną ilość kolumn i wierszy tak aby uzyskać macierz kwadratową. Wyznacznik tej macierzy to właśnie minor. Przykład:

1 2 3 3 4 6

Minory to: |1|, |2|, |3|, |4|, |6| (| | oznacza wyznacznik) − jednowymiarowe dwuwymiarowe to:

	1 2 3 4		2 3 4 6		1 3 3 6
|		|, |		|, |		|

Widać dlaczego takie sprawdzanie jest niepraktyczne...

Trivial: Zabrakło mi jeszcze jednego minora jednowymiarowego − drugiego |3|.

algebraista: hm jezeli macierz nie jest kwaratowa to i tak mozemy wywnioskowac jaki ma wyznacznik ?

Trivial: Macierz niekwadratowa nie ma wyznacznika. Zauważ, że te macierze powstają poprzez wycięcie odpowiedniej ilości wierszy i kolumn, tak aby wynikowa macierz była kwadratowa.

algebraista: no tak, tylko krystian karczynski na etrapezie podawal ze jezeli wyjdzie macierz niekwadratowa np. [1 0 0 ] to ma rząd =1 (ma conajmniej 1 element nieujemny), a taka [0 0 0] ma rząd=0

Trivial: Chyba chodziło o element niezerowy, a nie nieujemny. Mimo wszystko, czy to się nie zgadza z tym co powiedziałem wcześniej?

algebraista: przepraszam pisalem z rozpedu, niezerowy "tak aby wynikowa macierz była kwadratowa." nie musi byc prawda? mam macierz np 4x5, operacją elementarną zeruje i wykerślam 1 wiersz i 1 kolumne, zostaje 1 + rz[...]_3x4 i nigdy nie bede mial w takiej sytuacji macierzy kwadratowej

Trivial: Cały post napisany 18 lut 22:43 był o minorach, a nie rzędzie w ogóle. Jeżeli chcesz liczyć rząd minorami, to niestety musi być kwadratowa. Macierz 4x5 ma dwa 5 minorów o rozmiarze 4 (4x4) − wykreślasz jedną kolumnę. Gdzie pojawia się problem z taką metodą? Jeżeli macierz ma rząd mniejszy niż 4 to musisz policzyć wszystkie minory 4x4 (5 wyznaczników) aby stwierdzić że macierz niestety jest niższego rzędu... Zdecydowanie lepiej jest dokonać eliminacji Gaussa tej macierzy (do macierzy schodkowej górnotrójkątnej). Wtedy widać rząd jak na dłoni. Liczba niezerowych elementów na diagonalii (pivotów) określa jej rząd. Dla macierzy prostokątnej może zdarzyć się, że pivoty nie będą leżały dokładnie na diagonalii, ale będą przesunięte trochę w prawo. Daj najlepiej ten przykład to napiszę.

algebraista: yyy tzn to nie przyklad, ale zakladajac ze mialbym po prostu policzyc rzad macierzy 4x5 jako głownej i 4x6 uzupelnionej. Musialbym cokolowiek robic gaussem? przyklad mozesz sobie wymyslec dowolny

Trivial: Ok... Powiedzmy że mamy równanie Ax = b Macierz uzupełniona wygląda tak: 1 2 1 0 2 | 1 0 3 0 2 1 | 2 2 4 3 2 1 | 1 1 2 1 0 1 | 2 Po eliminacji wygląda tak: 1 2 1 0 2 | 1 0 3 0 2 1 | 2 0 0 1 2 −3 | −1 0 0 0 0 −1 | 1 Na zielono zaznaczone pivoty. Zatem macierz A ma rząd 4, uzupełniona również. Ale powiedzmy że macierz uzupełniona wyglądałaby tak: 1 2 1 0 2 | 1 0 3 0 2 1 | 2 2 4 3 2 1 | 1 1 2 1 0 2 | 2 Po eliminacji: 1 2 1 0 2 | 1 0 3 0 2 1 | 2 0 0 1 2 −3 | −1 0 0 0 0 0 | 1 Czyli rząd A jest 3, ale rząd macierzy uzupełnionej jest 4 (dochodzi jeden pivot) − brak rozwiązania. Ale z kolei przypuśćmy, że macierz wygląda tak: 1 2 1 0 2 | 1 0 3 0 2 1 | 2 2 4 3 2 1 | 1 1 2 1 0 2 | 1 Po eliminacji: 1 2 1 0 2 | 1 0 3 0 2 1 | 2 0 0 1 2 −3 | −1 0 0 0 0 0 | 0 Czyli macierz uzupełniona ma taki sam rząd jak macierz A Zauważ, że tak naprawdę możemy stwierdzić czy układ ma rozwiązanie bez zabawy w rzędy − wystarczy zobaczyć jak wygląda macierz uzupełniona po eliminacji.