trygonometria darkcarmell: W trójkącie prostokątnym abc o kącie ostrym 60 wpisano okrąg. Punkt styczności D tego okręgu z przeciwprostokątną ICBI dzieli ją na 2 odcinki ICDI i IDBI. Wykaż że IACI* IABI=2*ICDI*IDBI

eeeeee: sin30 = \frac{|AC|}{|BC|} \\ \frac{1}{2}=\frac{|AC|}{|BC|} \\ |AC|=x \wedge |BC|=2x cos30 = \frac{|AB|}{|BC}\\ \frac{\sqrt3}{2} = \frac{|AB|}{2x}\\ |AB|=x\sqrt3 obliczam promień okręgu wpisanego w ten trójkąt : r=\frac{x+x\sqrt3−2x}{2} = \frac{x\sqrt3−x}{2} = \frac{1}{2}\sqrt3x − \frac{1}{2}x |BE| = |AB| − r =x\sqrt3 − (\frac{1}{2}\sqrt3x − \frac{1}{2}x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x\sqrt3\\ |BE|=|BD|\\ |BD|=\frac{1}{2}x +\frac{1}{2}x\sqrt3 |CF|=|AC|−r = x − (\frac{1}{2}\sqrt3 x − \frac{1}{2}x) = \frac{3}{2}x − \frac{1}{2}\sqrt3 x\\ |CF|=|CD|\\ |CD|=\frac{3}{2}x −\frac{1}{2}\sqrt3 x |AC| \cdot |AB| = x\cdot \sqrt3 x = \sqrt3 x²\\ 2|CD| \cdot |DB| = 2(\frac{3}{2}−\frac{1}{2}\sqrt3)x \cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3)x =\\ =(3−\sqrt3)(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt3) x² = \\ =(\frac{3}{2} − \frac{1}{2}\sqrt3 + \frac{3}{2}\sqrt3 − \frac{3}{2})x² = \sqrt3 x² |AC|\cdot |AB| = 2|CD|\cdot |DB|