zadania zadanie: wykaz ze liczba √2+√3+√5 jest liczba niewymierna

zadanie: ?

Jack: można np. przez konstrukcję pewnego wielomianu i z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współ. całkowitych.

zadanie: tzn? a nie ma innego sposobu

PW: A nie chcesz spróbować tego co podpowiada Jack? Zaczniemy razem. W(x)=x²−2 jest wielomianem, którego jednym z pierwiastków jest √2. Po przesunięciu wykresu o wektor [√3,0] otrzymamy wielomian, którego pierwiastkiem jest (√2+√3). Wielomian ten to W(x−√3)=(x−√3)²−2 = x²−2√3x+3−2=(x²+1)−2√3x Aby otrzymać wielomian o współczynnikach całkowitych wystarczy pomnożyć ten wielomian przez (x²+1)+2√3x. [(x²+1)−2√3x][(x²+1)+2√3x] = (x²+1)²−(2√3x)²=x⁴+2x²+1−12x²=x⁴−10x²+1 Mamy więc wielomian G(x) = x⁴−10x²+1, o współczynnikach całkowitych. którego pierwiastkiem jest (√2+√3). Tak jak pisał Jack patrząc na wielomian G można bez trudu udowodnić niewymierność liczby (√2+√3) − wiemy, że jest ona pierwiastkiem wielomianu G, a z drugiej strony wiemy, że jedynymi pierwiastkami wymiernymi mogłyby być tylko podzielniki wyrazu wolnego 1. Liczba (√2+√3) jest większa od 1, a wiec nie jest wymierna. Kontynuując ten sposób (przesuwając wykres wielomianu G o wektor [√5,0] uzyskamy wielomian, którego pierwiastkiem jest (√2+√3+√5). Wykonać jeszcze sztuczkę z mnożeniem zapewniającą uzyskanie wielomianu o współczynnikach całkowitych i dowód niewymierności gotowy, bo wyraz wolny tego wielomianu będzie równy 16, a więc liczba (√2+√3+√5), która nie jest żadnym z podzielników 16, nie może być wymierna. Nie podaję tego ostatniego wielomianu, żebyś mógł sam go odkryć, ale warto to zrobić samodzielnie, jeśli nie jesteś "pierwszakiem" i znasz teorię wielomianów (tw. Bézouta). Nareszcie coś niebanalnego.

PW: A, żeby nie było komentarzy, że to jakieś popisy i nie chcemy pomóc. Można tradycyjnie − nie wprost. Gdyby istniała liczba wymierna w, taka że √2+√3+√5=w, czyli √2+√3=w−√5, to po podniesieniu do kwadratu można uzyskać 2(w√5−√6)=w², skąd po ponownym podniesieniu do kwadratu wynikałaby wymierność liczby √30, co nie jest prawdą. Tę niewymierność √30 wypadałoby udowodnić osobno, też metodą nie wprost.

Eta:

PW: Witaj, Eta. Powiało wielką matematyką − liczby algebraiczne, wielomiany minimalne, aż zajrzałem z sentymentu do wielkiego dzieła Zdzisława Opiala.