planimetria Kamil: W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, ramię ma długość 7 cm, a przekątna 8 cm. Oblicz długości podstaw trapezu wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 4 cm.

123: byc może ja coś pomogę/podpowiem Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest średnią arytmetyczną podstaw.

	1
S=		(a+b)
	2

	1
4=		(a+b)
	2

8=a+b gdzie a i b to długości podstaw

Kamil: Ok. dzięki

AS: dane: c = 7 , d = 8 , m = 4 Szukane: a , b 1. Z tw. o środkowej trapezu mamy (a + b)/2 = m ⇒ a + b = 2*m 2. α + β = 180^o ⇒ β = 180^o − α 3. Z tw.cosinusów ΔACD: d² = b² + c² − 2*b*c*cos(180^o − α) = b² + c² + 2*b*c*cos(α) ΔABD: d² = a² + c² − 2*a*c*cos(α) d² − b² − c² = 2*b*c*cos(α) d² − a² − c² = −2*a*c*cos(α) Stronami dzielę d² − b² − c² b −−−−−−−−−= − − d² − a² − c² a 64 − b² − 49 b −−−−−−−−−−− = − − 64 − a² − 49 a 15 − b² b −−−− = − − 15 − a² a 15*a − a*b² = −15*b + a²*b 15*a + 15*b = a*b² + a²*b 15*(a + b) = ab*(a + b) | : (a + b) a*b = 15 Rozwiązując układ równań: a*b = 15 i a + b = 8 uzyskujemy rozwiązania (5,3) lub (3,5)

Bogdan: Dzień dobry. a = |AB|, b = |CD|, |AD| = |BC| = 7, |AC| = 8,

	a + b		a + b
|FG| = |AE| =		= 4 ⇒ 4 =		⇒ a + b = 8
	2		2

W trójkącie AEC z twierdzenia Pitagorasa: h = √|AC|² − |AE|² = √64 − 16 = √48

	a − b
W trójkącie BEC z twierdzenia Pitagorasa:		= √|BC|2 − h2 = √49 − 48 = 1
	2

Stąd a − b = 2 Rozwiązujemy układ równań: 1. a + b = 8 ⇒ b = 8 − a 2. a − b = 2 ⇒ a − 8 + a = 2 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5 oraz b = 8 − 5 = 3 Odp.: Długości podstaw trapezu są równe 5 cm oraz 3 cm.

Kamil: Dzięki AS i Bogdan. Jeszcze mam jedno zadanie za które nie mam pojęcia jak się zabrac. W prostokącie połączono środki sąsiednich boków. Powstały w ten sposób romb ma obwód 40cm i pole równe 96cm² . Oblicz długości boków prostokąta.

AS: Przyjmij boki prostokąta: 2*x i 2*y Bok rombu znajdziesz z tw. Pitagorasa a następnie obwód. Jeżeli podzielisz romb poziomą przekątną powstaną dwa trójkąty. Suma pól tych trójkątów da Tobie pole rombu. Pozostanie prosty układ równań do rozwiązania.

Kamil: Pytanie do As'a. Wyszło Ci 12 i 16?

Eta: Witam . Odpowiem za AS−a : tak , to poprawne rozwiązanie

Eta: Sprawdzając ( nie musiałbyś pytać , czy to dobra odp? bok rombu a= 10 cm bo Ob= 4a => Ob= 40 cm Pole rombu: P= 2*¹₂*2x*y => P= 2x*y => P= 2*6*8 => P= 96 cm² zatem wszystko gra Odp jest poprawna ( prostokąt ma wymiary 12 cm i 16cm

Kamil: uff..kamień z serca Dzięki Eta i AS Tak na marginesie, to wole się spytac kogoś bardziej doświadczonego , bo jestem sławny z robienia głupich błędów... Pozdrawiam

Piotr: Mógłby ktoś rozwiązac te zadanie, bo mi coś nie wychodzi

tim: Ktore?

Piotr: haha już wiem nic nie trzeba

Eta: Witam Tak jak podał AS otrzymasz układ równań: x² +y² = 10² => x² +y² = 100 −−−− to pierwsze równanie drugie równanie: P= 2*¹₂*2x*y => 2xy= 96 => xy= 48 masz zatem układ równań: x² +y² = 100 i xy= 48 więc: ( x +y)² − 2xy= 100 => ( x+y)²− 96= 100 to: (x +y)²= 196 => x+y= 14 lub x+y= −14 −−− sprzeczność bo x, y >0 zatem x = 14 − y i x² +y² = 100 podstaw za x i oblicz y , pamiętając ,że x, y >0 dasz już radę z pewnością odp: x= 6 y= 8 czyli 2x , 2y −−− długości boków prostokata