Pochodne i całki z Michałem Michał: Przygotowuje się do sprawdzianu z pochodnych i całek. Będę tu zamieszczał rzeczy których nie umiem zrobić. na początek mam problem z dwoma granicami liczonych metodą de l'Hospitala

	2tgx
1. limx→0
	sin5x

	ln(x−1)
2. limx→1+
	ctg(x−1)

Michał:

	2
W pierwszym wychodzi mi granica równa 2, a w rozwiązaniach jest
	5

Michał: Z drugim dałem sobie radę, ale to pierwsze wciąż mi nie wychodzi

Krzysiek: to pokaż jak liczysz,

	tgx		5x		1
1. można szybko bez tej reguły: 2		*		*		→2*1*1*1/5=2/5
	x		sin5x		5

Michał: 1. korzystając z l'hospitala

	2		2
limx→0		=		=2
	cos2x*cos5x		1*1

Michał: To jak z tą granicą ?

PW: A pochodna funkcji wewnętrznej? Pochodna sin5x to nie jest cos5x.

Michał: 1)Całka ∫₋2¹⁰f(x) dx wynosi 5, funkcja f jest ciągła. Ile jest równa całka ∫₋2¹⁰g(x)dx, jeżeli wiadomo że f(x)=g(x) dla każdego x poza zbiorem {−0.5,0,e,π,5,8} 2)Całka ∫₂⁸ f(x) dx wynosi 10, funkcja f jest ciągła. Ile jest równa całka ∫₂⁸g(x) dx jeżeli wiadomo, że f(x) = g(x) dla każdego x poza zbiorem liczb zawartym w [2,8] Wydaję mi się że trzeba skorzystać z tego kryterium całkowalności: Jeżeli fa,b]→R jest całkowalna i funkcja g a,b]→ R jest równa funkcji f na [a,b] z pominięciem być może skończonej ilości punktów, to g też jest całkowalna oraz ich całki są równe. Czyli w przypadku 1) całka g(x)=całka f(x) W przypadku 2) można traktować zbiór [2,8] jako skończoną ilość punktów ?

Michał: W przypadku 2) wydaję mi się, że nie można stwierdzić ile wynosi całka g(x). Dobrze kombinuje ?

Trivial: 1) Jeżeli funkcje f i g są równe poza skończoną liczbą punktów, to ich całki są równe. 2) Te funkcje mogą wyglądać zupełnie różnie na przedziale [2,8], a więc i ich całki będą różne (ale może się zdarzyć że będą równe). Nie wiem o co pyta to zadanie.

Michał: Wykaż za pomocą rachunku pochodnyc, że

	1		4
arctgx <= arctg		+ ln		(1+x2) dla x∊R
	2		5

Powiedzcie tylko jak się takie coś rozwiązuje. Ja bym zdefiniował funkcję

	1		4
arctgx−arctg		−ln		(1+x2)
	2		5

następnie policzył jej pochodną I co dalej ?

Michał: pomoże ktoś ?

Michał: up