Indukcja matematyczna misiek: Witam! Ja chciałbym prosić o rozwiązanie tych zadań metodą indukcji matematycznej. Proszę o rozpisanie co z czego się zabrało. Z góry dziękuję 1. Udowodnić że dla każdego n∊N liczba 6ⁿ⁺² + 7²ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 43. 2. Udowodnić że wszystkie liczby naturalne n > 4 spełniają nierówność 2ⁿ > n² . 3. Ciąg a_n jest zdefiniowany w następujący sposób: a₀ = 0 , a_n = a_n−1 + n * 2ⁿ dla n ≥ 1 . Udowodnić że aⁿ = 2 + (n − 1) * 2ⁿ⁺¹ .

wmboczek: krok 1 sprawdzamy prawdziwość dla pierwszego n 6³+7³=559 jest podz krok 2 sprawdzamy implikację (krok n)=>(krok n+1) 6ⁿ⁺¹⁺²+7²ⁿ⁺²⁺¹=6*6ⁿ⁺²+49*7²ⁿ⁺¹=6*(to co było dla kroku n)+43*7²ⁿ⁺¹ a to jest podz przez 43 bo oba składniki są

PW: 1° Sprawdzamy dla n=0 6⁰⁺²+7^2.0+1 = 36+7 = 43 − liczba podzielna przez 43, wzór jest prawdziwy dla n=0. 2° Założenie indukcyjne. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla dowolnej, na czas dowodu ustalonej liczby k∊N, to znaczy 6^k+2+7^2k+1 jest podzielna przez 43. 3° Teza indukcyjna. Z założenia 2° wynika prawdziwość wzoru dla liczby k+1, to znaczy 6^(k+1)+2+7^2(k+1)+1 jest podzielna przez 43. 4° Dowód. Polega na tym, żeby przekształcić badaną sumę, by zobaczyć możliwość skorzystania z założenia 2° i pokazać, że suma ta też dzieli się przez 43.

wmboczek: w drugim trick polega na pokazaniu, że 2ⁿ>2n+1 co wynika z n²>2n+1

misiek: I właśnie tu mam problem bo żeby to było podzielne przez 43 to by to musiałoby wyglądać np. tak: 43*(ta suma) a nie wiem jak doprowadzić do takiej postaci Pomożecie?

wmboczek: w trzecim a_n+1=2+(n−1)2ⁿ⁺¹+(n+1)2ⁿ⁺¹=2+n2ⁿ⁺²=to co mamy udowodnić

wmboczek: pierwsze masz na tacy pierwszy składnik na mocy zał można zapisać jako 6*43*coś, w drugim jest 43 przed 7

misiek: aha no tak teraz to widzę bo nie wiedziałem nawet że w tym momencie się dowód kończy Dzięki wielkie