udowodnij Monika: udowodnić że f⁻¹(f(A))=A

Monika:

Artur_z_miasta_Neptuna: no i ... w czym dokładnie masz problem

Monika: nie wiem jak to rozpisać, jedynie co napisałam to: f:Y→X y∊A y∊f⁻¹(f(A))⇔∃x∊f(A) f(x)=y⇔∃x x∊f(A) ⋀ f(x)=y⇔∃x f(x)∊A ⋀ f(x)=y⇒y∊A A∊f⁻¹(f(A))

Monika:

Monika:

Monika:

Monika:

PW: Poza tym, że wniosek ostateczny winien być A=f⁻¹(f((A)), to dobrze. Tylko można zapytać, po co komu takie formalizmy − studiujesz matematykę teoretyczną? Mnie by bardziej przekonało stwierdzenie, że obcięcie f do zbioru A jest też funkcją odwracalną i przekształca A na f(A), a wtedy teza jest oczywista.

Monika: to mogę dodać że ten warunek jest równoważny warunkowi A∊f⁻¹(f(A))⇒A=f⁻¹(f(A))

MQ: Mnie ten dowód nie bardzo przekonuje. Racze powinno się pokazać, że: ∀x∊A ∃y∊f(A): x=f⁻¹(y)

Monika: to jaki powinien być ten dowód?

PW: Moniko, napis "A∊f⁻¹(f(A))" nie bardzo ma sens.

Monika: to ktoś ma jakiś pomysł żeby to udowodnić>

Monika: ?

Godzio: Zacznijmy od tego, że nie jest to zawsze prawdziwe, więc nie ma czego dowodzić

Monika: Kiedy f⁻¹(f(A))=A? Sformułować i udowodnić odpowiednie twierdzenie?

PW: @Godzio: zakładam, że skoro Monika pisze f⁻¹, to funkcja jest odwracalna.

Godzio: Zawsze mamy, że: A ⊆ f⁻¹[ f[A] ], natomiast w drugą stronę zawieranie zachodzi przy pewnym założeniu. Jakim ?

Godzio: PW, zgoda, ale powinno być to napisane.

Godzio: f: X → Y, A ⊆ X Pokażemy, że A ⊆ f⁻¹[ f[A] ] Ustalmy dowolne x ∊ A. Z definicji obrazu mamy f(x) ∊ f[A], a z definicji przeciwobrazu mamy: f⁻¹A = {x ∊ X : f(x) ∊ f[A]} czyli x ∊ f⁻¹A. Kombinuj w drugą stronę

Godzio: f⁻¹[ f[A] ] ma być zamiast tych kolorowych

Monika: nie rozumiem

Monika: czy może być coś takiego A⊂X f:x→Y x∊f⁻¹(f(A))⇔f(x)∊f(A)⇔istnieje x₁∊A i f(x)=f(x₁)⇒x=x₁∊A⇒x∊A

Godzio: Ok, a jakiś komentarz do przedostatniego przejścia ? (tylko tego mi brakuje )

Trivial: Czy tutaj w ogóle trzeba cokolwiek dowodzić? Skoro istnieje f⁻¹ wtedy f jest bijekcją, zatem (→) oznacza odwzorowanie jednoznaczne. f: A → f(A) f⁻¹: f(A) → A f⁻¹∘f: A → A (mamy: A → f(A) → A) Zatem f⁻¹∘f = id_A.

Monika: Godzio: różnowartościowość

Godzio: ok

Godzio: Trivial w matematyce zazwyczaj udowadnia się rzeczy oczywiste

Trivial: No tak.

PW: Ja się obawiam, że problem został źle postawiony. Niestety, symbolu f⁻¹ używa się nie tylko jako oznaczenia funkcji odwrotnej. Również niektórzy piszą f⁻¹(Y) dla oznaczenia "przeciwobrazu" zbioru Y.. Wtedy − tak jak napisa Godzio w pierwszym wejsciu − nie ma czego dowodzic, bo to nieprawda. Przyklad: zwykla funkcja f(x)=x². f(<0,∞))=R, ale f⁻¹(R)=R. Tak to jest, gdy uzywa sie niejednoznacznych oznaczen. Moniko, co to dla autora zadania jest f⁻¹?

MQ: @PW: a nie tak? f(R)=<0,∞), ale f⁻¹(<0,∞))=<0,∞) Tak tylko pytam.

PW: Masz racje, juz sam sie zmylilem, dobry bylby f(x) = |x| f(<0.∞))=<0,∞), ale f⁻¹(<0,∞))=R Tak samo dla f(x)=x² − zle w poprzednim przykladzie napisalem, powinno byc identycznie jak dla przykladu z |x|.

Godzio: Właśnie o to mi chodziło, ale później Monika napisała, że trzeba skorzystać z różnowartościowości funkcji, więc dalej nie męczyłem.