Rozwiązać równanie różniczkowe klasycznie i operatorowo. Adi: Rozwiązać operatorowo i klasycznie przy warunkach y(0+)=0 y'(0+)=0 y" − 3y' + 2y = 4e⁻x

Adi: y" − 3y' + 2y = 4e^−x

jikA: r = y' r² − 3r + 2 = 0 ⇒ r = 1 ∨ r = 2 y_o = C₁e^x + C₂e^2x y_s = Ae^−x y'_s = −Ae^−x y''_s = Ae^−x Ae^−x + 3Ae^−x + 2Ae^−x = 4e^−x 6Ae^−x = 4e^−x

	2
6A = 4 ⇒ A =
	3

	2
y = C1ex + C2e2x +		e−x
	3

Teraz wylicz stałe.

Trivial: Użyj transformaty Laplace'a. y(0) = 0 y'(0) = 0

	4
y'' − 3y' + 2y = 4e−x → s2Y − sy'(0) − y(0) − 3(sY−y(0)) + 2Y =
	s+1

	4
Y(s2 − 3s + 2) =
	s+1

	4		4
Y =		=
	(s+1)(s2−3s+2)		(s+1)(s−1)(s−2)

Mamy wyrażenie wymierne, zatem y(x) = ∑_k res_s=sk[Y(s)e^sx]

	4		4		4
y(x) =		e−x +		ex +		e2x
	(−2)*(−3)		2*(−1)		3*1

	2		4
=		e−x − 2ex +		e2x
	3		3