równania różniczkowe dulcan: Jak rozwiązać równanie różniczkowe II rzędu ze zmienną niezależną t: y''−y=−t

Trivial: Rozwiązujesz równanie jednorodne y'' − y = 0 (metoda z λ−mi), a potem szukasz jakiegokolwiek rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego y'' − y = −t, które leży w przestrzeni rozwiązań jednorodnych (np. metodą przewidywań − wielomian stopnia pierwszego).

Trivial: miało być nie leży

dulcan: y''+y=0 y(x)=c₁*y₁(x)+c₂*y₂(x) y=e^rx y'=re^rx y''=r²er^x y''+y=0 r²e^rx+e^rx=0 e^rx(r²+1)=0 r=j lub r=−j y₁(x)= e^αx*cos(βx)=cosx y₂(x)= e^αx*sin(βx)=sinx y(x)=c₁*cosx+c₂*sinx i dalej nie wiem co z tym t

Trivial: Tam jest − przy y. Pierwiastki wychodzą −1,1. Trzeba poprawić. Rozwiązałeś równanie jednorodne (nazwijmy je y_j). Pozostało znaleźć rozwiązanie szczególne, które spełnia równanie y_s''−y_s = −t. Przewidujesz rozwiązanie y_s = At+B, podstawiasz, wyliczasz współczynniki. Rozwiązaniem ogólnym jest y = y_s + y_j

dulcan: Nie wiem czy dobrze r=1 lub r=−1 y₁=e^x y₂=e^−x y(x)=c₁e^x−c₂e^−x, gdzie c₁,c₂∊R y''−y=−t q₁(x)=−t y₁(x)=At+B (y₁(x))'=A (y₁(x))''=0 At+B=−t⇒A=1, B=0 y₁(x)=1*(−t)=−t y(x)=c₁e^x−c₂e^−x−t

Trivial: Dobrze, tylko wszędzie tam gdzie masz x powinno być t.

dulcan: ooo super dzięki

dulcan: teraz mam problem bo miałem obliczyć metodą klasyczna i operatorową układ równań x'−y=−t−1 y'=t+x, przy warunkach x(0⁺)=1, y(0⁺) zaczne od metody klasycznej Z drugiego równania wyliczam x=y'−t, później różniczkuję i wychodzi mi x'=y''−1, a następnie podstawiam do I równania y''−1−y=−t−1 ⇒ y''−y=−t. Doszedłem do momentu rozwiązania równania y"−y=−t I mam pytanie jak wyliczyć x

dulcan: czy możliwe ze x=1−t

Trivial: Niemożliwe. Równanie y''−y = −t miałeś rozwiązane już wcześniej. Rozwiązaniem jest y(t) = −t + c₁e^−t + c₂e^t Teraz, z równania y' = t + x mamy x = −t + y' czyli x(t) = −t + (−t + c₁e^−t + c₂e^t)' = −t − 1 − c₁e^−t + c₂e^t Zapisane kolumnowo:

	x y		−1 −1		−1 0		−1 1		1 1
		=		t +		+ c1*		e−t + c2*		et.

Dla t = 0 mamy:

	x(0) y(0)		−1 0		−1 1		1 1
		=		+ c1*		+ c2*		← trzeba podstawić x(0), y(0) i rozwiązać.

dulcan: a inaczej można zapisać niz kolumnowo, bo za bardzo nie wiem o co chodzi

Trivial: Takie równanie czyta się wierszami. Bierzesz pierwszy wiersz każdego wektora i to jest jedno równanie. Bierzesz drugi wiersz i to jest drugie równanie. A zapisane inaczej niż kolumnowo było wcześniej: x(t) = ..., y(t) = ... Podstawiasz t = 0 i wyliczasz stałe c₁,c₂.

dulcan: dzięki wielkie