granica ciągu Marta: Witam, mam pytanie .czy granica podanego ciągu wynosi e³?

	2−n
o to ciąg limn→∞ (		)3n
	1−n

3n to potęga calego ulamka tylko nie umiałam zrobic zeby byla ona yzej

Laura: moim zdaniem wynik to e⁻³

Marta: aha, no to pewnie masz racje a moglabys mi to rozpisac?

Basia:

	2−n		n−2		1
wystarczy zauważyć, że		=		= 1−
	1−n		n−1		n−1

Marta: no to ja tez tak mam tylko ze ja napisalm ze to dazy do e a to dazy do e⁻1 a potega do 3 wiec w sumie to do −3, zawsze robie takie glupie bledy

Marta: a taki szereg jest zbierzny bezwzglednie bo jego granica wynosi zero.

	1+√n
∑n=1∞ (−1)n
	1+n

mam racje?

Laura:

	2−n
lim (		)3n
	1−n

n→∞

	−n+1−1+2
lim (		)3n
	1−n

n→∞

	1−n		−1+2
lim [(		+		)1−n]3n1−n
	1−n		1−n

n→∞

	1
lim [(1+		)1−n]3n1−n=e1−3=e−3
	1−n

n→∞ lim ³ⁿ_1−n=−3

Basia: z tego, że a_n ⇒ 0 nie wynika, że ∑a_n jest zbieżny

	1
to tylko warunek konieczny zbieżności, ale nie wystarczający np. ∑		to szereg harmoniczny
	n

rozbieżny Twój też jest bezwzględnie rozbieżny; pokombinuj z kryterium porównawczym

Marta:

	1+n
a ciag bn moge sobie dobrac taki		czy nie moge sobie √n zastapic n? bedzie
	1+n

0≤a_n≤b_n wiec chyba moze byc i wtedy z leibniza warunkowa zbieznosc jakbym badala to granica bedzie o ale nie bedzie to ciag malejace czli warynkowo zbiezny tez nie bedzie,tak?

Marta: tam granica 0 zamiast o powinna byc

Marta:

	n!*(2n)!		4
∑od n=1 do∞		i wyliczylam ze jego granica z d'alamberta wynosi		a
	(3n)!		27

wiec jest zbiezny, tak?

	sin(2n)
i jeszcze jeden ∑ od n=1 do∞		to wzielam to z kryterium cauchyego i granica
	4n

	1
wyszla mi		wiec tez jest zbiezny, mam racje?
	4

Basia: (1) dobrze (2) to nie jest szereg o wyrazach dodatnich poprzednie:

	1+√n
an = (−1)n
	1+n

1+√n

1

1

1

1

1

∑|an| = ∑

> ∑

≥ ∑

= ∑

=

∑

1+n

1+n

n+n

2n

2

n

czyli jest bezwzględnie rozbieżny

Marta: to jak mozna zrobic ten szereg z sinusem? bo nie mam pojecia, wogole jak mam w granicach jakies sinusy albo cosinusy to sie gubie i nie wiem jaka one maja wartosc, to czarna magia dla mnie.

Basia: jest bezwzględnie zbieżny bo |sin(2n)| ≤ 1

	|sin(2n)|		1
czyli ∑|an| = ∑		≤ ∑
	4n		4n

a to jest szereg geometryczny zbieżny

Marta: aha, dziekuje bardzo za pomoc a jeszcze jak policzyc taka granice lim n→∞ √¹₂ⁿ+ ¹₄ⁿ i teraz tak pierwiastek jest n−tego stopnia i cale ulamki czyli1/2 i 1/4 sa do potegi n, nie wiem jak to zrobic( przepraszam za zapis ale mi nie wychodzil)

Marta: odświeżam

Basia: a_n = ⁿ√(1/2)ⁿ+(1/4)ⁿ tak ma być ?

Basia: skorzystaj z tw.o trzech ciągach

Marta: tak, ⁿ√(1/4)ⁿ ≤ n√(1/2)n+(1/4)n≤ⁿ√2*(1/4)ⁿ moze byc cos takiego? czy zle dobralam ciagi?

Marta: i granica bedzie 1/4?

Basia: czy (¹₂)² < (¹₄)² ? chyba nie ⁿ√(1/2)ⁿ < a_n < ⁿ√2*(1/2)ⁿ G = ¹₂

Kipic: jakie to studia ?

Marta: matematyka I rok

Marta: no tak, ja to jestem madra, ulamek przeciez jak im ma wiekszy mianownik to jest mniejszy. zawsze robie takie glupie bledy.

Marta: I bardzo dziekuje, Basiu bardzo mi pomogłas, zazdroszcze wiedzy

Marta: Wiem że juz bardzo duzo mi pomoglas ale jak juz wspomnialam mam ogromny problem kiedy w granicach pojawiaja sie sinusy itp i mam udowodnic ze lim _n→∞ 2sinn²π−3cosnπ nie istnieje, wiem ze wystarczy za n podstawic np 2k a potem 2k+1 czy cos takiego i wykazac ze to dazy do innych granic ale nie wiem jak to zrobic, nie umiem rozpoznawac wartosci tych wyrazen wiec jak mozesz to pomoz mi jeszcze w tym

Marta: odświeżam