. a9: Rozwiąż równanie różniczkowe t² z''(t) + t z'(t) + λ z(t) = 0 dla λ < 0

Krzysiek: poszukaj jak się rozwiązuje równanie różniczkowe Eulera.

Trivial: t²z''(t) + tz'(t) + λz(t) = 0 λ < 0 Rozpoznajemy równanie Eulera. Możemy podstawić z(t) = u(ln| t |) = u(w) gdzie w = ln| t |

	dz		du	dw		du		1
z'(t) =		=			=		*
	dt		dw	dt		dw		t

d

du

1

d2u

dw

1

du

1

z''(t) =

(

*

) =

*

−

*

dt

dw

t

dw2

dt

t

dw

t2

	1		d2u		du
=		(		−		)
	t2		dw2		dw

Wstawiamy do równania.

	d2u		du		du
(		−		) + (		) + λu = 0
	dw2		dw		dw

	d2u
		+ λu = 0
	dw2

I dalej już prosto. Wynik jest u(w) = c₁e^√−λw + c₂e^−√−λw

	c2
z(t) = c1e√−λln|t| + c2e−√−λln|t| = c1| t |√−λ +
	| t |√−λ

a9: nie za bardzo rozumiem nie powinniśmy zrobić podstawienia z=e^u

a9:

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_Eulera możesz podstawić: z=t^r (i otrzymać równanie charakterystyczne)

a9: czyli z = t^r z' = r t^r−1 z'' = r (r−1) t^r−2 więc podstawiając do równania po skróceniu mam t^r r² + λ t^r = 0 dobrze?

Krzysiek: t^r>0 więc: r² +λ=0 λ<0 , niech:α=−λ r² −α=0 r₁=√α,r₂=−√a

a9: i co dalej ?