zadania dla Kuby, zestaw 4. Bogdan: zadania dla Kuby, zestaw 4. Mam nadzieję Kubo, że się nie zniechęciłeś i jesteś gotów na następne wyzwania. 1. Punkty A = (−3, −2), B = (2, 1), C = (4, 5) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka D oraz oblicz pole tego równoległoboku. 2. Nie korzystając z tablic ani kalkulatora oblicz: cos105^o * cos75^o. 3. Dana jest funkcja: f(x) = log₉(2x + 1). Rozwiąż nierówność f(f(2x)) ≤ 0.

Kuba: NIe oczywiście że się nie zniechęciłem ja walcze do końca w tym przypadku do 25 sierpnia Zaraz zaczne robić któreś z tych zadań.

tEa: Jak idzie Kuba ?....

Kuba: Zadanie 1. Dane A = (−3, −2) B = (2, 1) C = (4, 5) są to wierzchołki równoległoboku (zielone) połaczone (czarne) |AD| = |BC| i |AB| = |DC| <−−−− wlasność równoległoboku −−> −−> AB = DC −−> AB = [5, 3] −−> DC = [4 − x_d, 5 − y_d] 5 = 4 − x_d / −5 + x_d 3 = 5 − y_d /−3 + y_d x_d = −1 y_d = 2 D = ( −1, 2) mamy D (niebieskie) Długość |AB| |AB| = √(5)²) + (3)² = √25+9 = √34 Długość |BC| |BC| = √(2)²) + (4)² = √4+16 = √20 = 2 * √5 Długość przekątnej d (|DB|) |DB| = √(3)²) + (−1)² = √9+1 = √10 Twierdzenie cosinusów 10 = 20 + 34 − 2 * √34 * √20 * cosα 10 = 54 − 2 * √680 *cosα / −10 + 2 * √680 * cosα 2 * √680 * cosα = 44 / : 2 √680 * cosα = 22 / : √680

	22
cosα =
	√680

	22 * √680
cosα =
	680

	11 * √170
cosα =
	170

cosα ≈ 0,844 sin² α + cos² α = 1 sin² α = x x + 0,712 = 1 x= 0,288 sin² α = 0,288 sinα = 0,537 Pole równoległoboku P ≈ √34 * √20 * 0,537 ≈ 14 {j²] Odp: Współrzędne wierzchołka D to (1, 2), Pole tego równoległoboku wynosi 14 [j²]

Kuba: powoli ale chyba do przodu

Bogdan: Wierzchołek D i pole równoległoboku wyznaczyłeś poprawnie. Do sposobu wyznaczenia wierzchołka D nie mam uwag, natomiast pole wyznaczyłeś w najgorszy możliwy sposób, tracąc przy tym dużo czasu. Łatwiej i zdecydowanie prościej wyznacza się pole równoległoboku następująco: A = (−3, −2), B = (2, 1), C = (4, 5), D = (−1, 2) → AB = [5, 3] → AD = [2, 4] | 5 3 | Pole P = | | | | = |20 − 6| = 14 [j²] | 2 4 | Proste i łatwe, prawda?

tEa: Pole równoległoboku można prościej policzyć: korzystając z wyznacznika pary wektorów zaczepionych w jednym punkcie. np: → → → → P= Id(CB, CD)I CB= [−2,−4] CD= [−5,−3] P=I −2*(−3) − (−4)*(−5)I = I6 − 20 I = 14 [j²]

Kuba: Zadanie 2. wzór redukcyjny tzw "coco sisi". cos105^o = cos(45^o + 60^o) = cos45^o * cos60^o − sin45^o * sin60^o =

√2

1

√2

√3

√2

√6

=

*

−

*

=

−

=

2

2

2

2

4

4

	√2 − √6
=
	4

cos75^o = cos(45^o + 30^o) = cos45^o * cos30^o − sin45^o * sin30^o =

√2

√3

√2

1

√6

√2

=

*

−

*

=

−

=

2

2

2

2

4

4

	√6 − √2
=
	4

	√2 − √6		√6 − √2
cos105o * cos75o =		*		=
	4		4

	√12 − √4 − √36 + √12		2√3 − 2 − 6 + 2√3
=		=		=
	4		4

	4√3 − 8		4(√3 − 2)
=		=		= √3 − 2
	4		4

cos105^o * cos75^o = √3 − 2

Kuba: No tak może zapamiętam Twój sposób.

tEa: Kuba ?.......

	√3−2
odp:
	4

sprawdź ,gdzie popełniłes błąd?

Kuba: Ale np. tego wzoru Bogdanie nie ma w karcie wzorów:( Możesz mi go przypomnieć? (pamiętam że się mnożyło na krzyż)

Bogdan: Proszę znaleźć prostsze rozwiązanie zadania 2.

Bogdan: Wyznacznik 2 stopnia: |a b| | | = ad − bc |c d|

Kuba: aaaa już wiem w ostatnim zadaniu pomnożyłem liczniki ale nie pomnożyłem mianowników. Dzięki Tea ale juz tego zmieniac nie będę

Kuba: ale dlaczego przeciez jest dobrze rozwiązane z małym błędem ale już przedyskutowanym. nie potrafie znaleść prostrzego jedyne co mi się nasuwa coco − sisi coco + sisi ale nie wyobrażam sobie rozwiazanie tego

Bogdan: Jest wzór w tablicach wzorów na pole trójkąta. Pole równoległoboku obliczymy tym wzorem

	1
pomijając w nim czynnik		.
	2

Kuba: W moich tablicach(cke sciagnietych tego roku) sa 3 wzory na pole trójkąta 1/2 ah 1/2absinγ (abc)/(4R) nic więcej

tEa: Kuba zmęczył się i poszedł Dobranoc Wszystkim

Kuba: zmęczony jestem ale spać pójde zaraz Tea Dobranoc

Bogdan: Podaję ten wzór na pole trójkąta z tego arkusza:

	1
PΔ =		|(xB − Xa)(yC − yA) − (yB − yA)(xC − xA)|
	2

Kuba: no tak jest, przepraszam Dobranoc

Bogdan: Zapraszam wszystkich do znalezienia najprostszego rozwiązania zadania 2, przypomnę treść: Nie korzystając z tablic ani kalkulatora oblicz: cos105^o * cos75^o.

Bogdan: Dobranoc

Kuba: już wiem chyba dobrze cos105o * cos75o. to poprostu to samo tylko ze przy 105 będzie minus ale potem i tak jest dodatni, Tak?

Bogdan: Kuba, nie oto chodzi. Proszę przedstawić pełne i najprostsze rozwiązanie zadania 2.

Bogdan: Chochlik, miało być: "nie o to chodzi"

tEa: Ja podałabym tak:: cosα +cosβ= 2 cos^α+β₂*cos^{α −β}₂ zatem: cos105^o*cos75^o= ¹₂*cos^180o+30o₂*cos^180o−30o₂=

	cos180o +cos30o		−1 +√32
=		=		=
	2		2

	√3−2
=
	4

tEa: Bogdanie! Podaj ten najprostszy sposób bo nie zasnę

tEa: Oczy mi sie już kleją oczywiście bez ¹₂ w drugiej linijce!

Bogdan: Dobrze, zaraz podam

tEa: ok.

tEa: Myślę,że ten mój sposób jest prostszy niż podany przez Kubę ?

tEa: Czy wiecie ,że już słońce wstaje

tEa: Idę Dobranoc! Miłych snów

Bogdan: Są 2 proste sposoby, pokazuję jeden z nich, drugi pokażę potem. cos105^o = sin(90^o − 105^o) = sin(−15^o) = −sin15^o. cos75^o = sin(90^o − 75^o) = sin15^o.

	cos2α − 1
Wzór: cos2α = 1 − 2sin2α ⇒ −sin2α =
	2

	cos30o − 1		√3   − 1 2		√3 − 2
cos105o * cos75o = −sin215o =		=		=
	2		2		4

Bogdan: No właśnie Eto, podałaś drugi prosty sposób

tEa: Idę zatem spokojnie spać Dobranoc!

Kuba: no Bogdanie, to dobrze myślałem, tylko już potem w nocy wyłańczało mi się myślenie po przekształceniu są to te same funkcje tylko przy tej gdzie jest 105^o będzie minus. Można nawet sprawdzić na kalkulatorze, że cos105^o to Liczba −0,288, a cos 75^o to liczba +0,288. wydaje mi się Więc że się nie myliłem Bogdanie tylko do końca tego nie Przemyślałem

Kuba: wyłączało xD

Kuba: 3 nie potrafie:(

Bogdan: Dzień dobry. Zadanie 3 czeka na rozwiązanie. Przypomnę treść. Dana jest funkcja: f(x) = log₉(2x + 1). Rozwiąż nierówność f(f(2x)) ≤ 0. Zapraszam każdego do jego rozwiązania. W przypadku, gdy nikt nie pokaże rozwiązania, zamieszczę je późnym wieczorem. Kubo, zadanie 2 w wersji, którą przedstawiłeś, zostałoby na maturze zaliczone, błąd rachunkowy nie miał wpływu na sposób rozumowania. Za chwilę zamieszczę kolejne 3 zadania i wyłączę się, będę tu wieczorem.

Kuba: Zadanie 3. f(x) = log₉(2x + 1) Już chyba wiem Dziedziną jest: 2x + 1 > 0 x > − ¹₂ f(2x) = log₉(4x + 1) 4x + 1 > 0 x > − ¹₄ f(f(2x)) = log₉(2(log₉(4x + 1)) + 1) 2(log₉(4x + 1)) + 1 > 0 /− 1 a potem :2 log₉(4x + 1) > −¹₂ log₉(4x + 1) > log₉ ¹₃ / : log₉ 4x + 1 > ¹₃ 4x > − ²₃ : 4 x > − ¹₆ log₉(2(log₉(4x + 1)) + 1) ≤ 0 log₉(2(log₉(4x + 1)) + 1) ≤ log₉ 1 /log₉ 2(log₉(4x + 1)) + 1 ≤ 1 / −1 2(log₉(4x + 1)) ≤ 0 /:2 log₉(4x + 1) ≤ 0 log₉(4x + 1) ≤ log₉ 1 /:log₉ 4x + 1 ≤ 1 4x ≤ 0 x ≤ 0 cześć wspólna pierwszych 3 to (−¹₆, + ∞) Wynik końcowy x∊ (−¹₆, 0 >

Kuba: Mam nadzieje, że dobrze to jest rozwiązane

Bogdan: Dobry wieczór. Nareszcie prawdziwie lipcowy, upalny dzień, ani kropli deszczu. Kubo, nie mów więcej: nie potrafię, nie umiem, nie wiem. Jeśli zadanie nie chce Ci się poddać, chociaż wolę inne określenie, jeśli zadanie w Twoim odczuciu nie chce Ci się oddać, to znaczy, że źle się za nie zabrałeś. Odczekaj i spróbuj z innej strony, tak, jak postąpileś z zadaniem nr 3. Poza drobnymi niuansami, o których nie warto nawet mówić, nie można się przyczepić do Twojego rozwiązania. Zaliczone

Kuba: Dobry wieczór to świetnie No tak dziś jest super upalnie aż do teraz