... buka: Jak wykazać, że funkcja jest różnowartościowa? Na przykład ta: y=4+log(x+1) ?

buka: halo?

PW: Właściwie nie ma czego dowodzić. Powołać się na różnowartościowość funkcji logarytmicznej. Badana funkcja jest sumą funkcji stałej i różnowartościowej g(x) = log(x+1) Ta ostatnia jest różnowartościowa jako złożenie różnowartościowej funkcji h(x) = x+1 i logarytmicznej. Tak bardzo formalnie można udowodnić następująco: Niech x₁ i x₂ będą różnymi liczbami należącymi do dziedziny funkcji (to znaczy większymi od −1). Jeżeli x₁≠x₂, to x₁+1≠x₂+1. Skoro są to liczby różne, to log(x₁+1)≠log(x₂+1), gdyż funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa. Wobec tego również 4+log(x₁+1)≠4+log(x₂+1), co kończy dowód. W sumie ple−ple, za łatwy przykład.

buka: ok Mogę dać trudniejszy. Na przykład ten i proszę o wytłuamczenie jak to wykazać

	2x−5
f(x)=
	x+2

f(x)= √x²−4

Andrzej: nie chce mi się pisać x₁, x₂, będę pisał a, b założenie a ≠ b, czyli a − b ≠ 0 teza f(a) ≠ f(b), czyli f(a) − f(b) ≠ 0 dowód:

	2a−5		2b−5
f(a) − f(b) =		−		= ...
	a+2		b+2

po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i uproszczeniu

	9(a−b)
...=		≠ 0 bo a − b ≠ 0
	(a+2)(b+2)

w drugim przykładzie podobnie udowadniając pomnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie (tak jak przy usuwaniu niewymierności)

	(a−b)(a+b)
wyjdzie
	suma pierwiastków

więc nie można stwierdzić, że ≠ 0 mimo założenia a ≠ b czyli że nie jest różnowartościowa i jeszcze ten przykład z samej góry tam się nie robi żadnego ple−ple tylko liczy tak samo

	a+1		a+1
f(a)−f(b) = ... = log		≠ 0 ⇔		≠ 1 to trzeba pokazać
	b+1		b+1

	a+1		a+1+b−b		b+1		a−b		a−b
		=		=		+		= 1 +		≠ 1 bo a − b ≠ 0
	b+1		b+1		b+1		b+1		b+1

buka: dzięuję

PW: Andrzeju, to "ple−ple" napisałem ja sam, ale to nie znaczy, że mój dowód był nienaukowy, albo gorszy od Twojego. Śmiem powiedzieć, że niesłychanie skomplikowałeś rzecz łatwą,

	a+1
zwłaszcza dowód, że skoro a≠b, to		≠1, a z różnowartościowości logarytmu
	b+1

skorzystałeś w sposób niejawny, co z dydaktycznego punktu widzenia krytykuję niniejszym uroczyście. Nie obrażaj się, to oczywiście żarty. Dobrze, że pokazujemy różnorodność podejścia.