Zadania dla b. Bogdan: Zadania dla b. 1. Dla jakich wartości parametru m równanie: −x² + 4x = m ma dwa pierwiastki, z których każdy jest większy od 1. 2. Dwa krótsze boki trójkąta rozwartokątnego mają długość 5 cm i 6 cm. Jakie wartości może przyjmować długość trzeciego boku trójkąta. 3. Wiedząc, że log a = −3, log b = 2 oblicz wartość wyrażenia a³ * b⁴. Nie podaję żadnych dodatkowych wyjaśnień do tych zadań, a także wskazówek i podpowiedzi. Sprawdzać rozwiązania może każdy,

Bogdan: Witam b, widzę, że jesteś na forum. Wrzucę następne zadania dla Ciebie po zobaczeniu Twoich rozwiązań, czekam więc na Twoje odpowiedzi do zamieszczonych tu trzech zadań.

Kuba: Dziękuje Bogdanie zamienie mój nick z b na Kuba Prosze o szczegółowe tłumaczenie krok po kroku tego czego nie rozumiem. Z góry dziękuje Również z góry przepraszam za błędy nawet językowe i prosze o poprawianie Od dziś będę wchodził tu bardzo często 1. 1.−x² + 4x = m −x² + 4x − m = 0 / *(−1) x² − 4x + m = 0 żeby otrzymać 2 pierwiastki Δ>0 a = 1 b = −4 c = m x₁ > 1 x₂ > 1 x₁ − 1 > 0 x₂ − 1 > 0 nie mam pomysłu 2. Przerywana − to możliwa długość tego boku x − długość tego boku , w tym wypadku w przedziale liczbowym Wiemy że napewno przedział liczbowy (wartość tego najdłuższego boku w tym trójkącie rozwartokątnym) będzie obustronnie otwarty, ponieważ długość tego boku nie może wynosić: 5 + 6 = 11 musi być mniejszy (bo inaczej by się linie pokrywały i nie było by mowy o trójkącie) od 11 czyli x<11 z pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną(z) 5² + 6² = z² 25 + 36 = 61 z= √61 czyli x>z poniewaz x nie może wynosić tyle ile wynosi przeciwprostokątna bo był by to trójkąt prostokątny x∊(√61, 11) 3.log a = −3, log b = 2 log (a³ * b⁴) = log a³ + log b⁴ ( skorzystałem ze wzoru: log_a x + log_a y = log_a (x*y) ) log a³ + log b⁴ = 3*log a + 4*log b ( skorzystałem : log_a x^p = p*log_a x ) 3*log a + 4*log b = 3 * (−3) + 4 * 2 = (−9) + 8 = (−1) czyli log (a³ * b⁴) = (−1) = log 10⁻¹ więc a³ * b⁴ = 10⁻¹ = 0,1

Mariusz: Zad1 Kuba na początku znajdz miejsca zerowe −x²+4x = x(−x+4) czyli miejsca przeciecia z osią OX to 0 i 4liczymy p i q

	−b
p=		=2
	2a

q=4 mamy więc parabole. Narysuj ją i zobacz dla jakich wartości ma dwa pierwiastki

Bogdan: Dzień dobry. Dobrze, że zmieniłeś nick, bo b. kojarzy się uczestnikom tego forum z osobą, która tutaj pomaga innym. Zadania dla Ciebie będę wobec zmiany nicku tytułował: "Zadania dla Kuby". Przechodzimy do zadań. Zadanie 1. Można rozwiązać na dwa sposoby. Sposób 1. Korzystamy z gotowych szablonów dla zagadnienia: dla jakich wartości parametru m równanie ax² + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki, z których każdy jest: a) większy od p, b) mniejszy od q. Tworzymy zbiór założeń w postaci nierówności, część wspólna rozwiązań tych nierówności daje odpowiedź. Lewa strona równania jest wzorem funkcji kwadratowej: f(x) = ax² + bx + c, odcięta

	−b
wierzchołka wykresu tej funkcji, czyli paraboli wyraża się wzorem: xw =		.
	2a

Założenia: 1. a ≠ 0 2. Δ > 0 3. a*f(p) > 0 lub a*f(q) > 0

	−b		−b
4.		> p lub		< q
	2a		2a

W podanym zadaniu: −x² + 4x = m ⇒ x² − 4x + m = 0, a = 1, b = −4, c = m, p = 1, f(1) = −3 + m. Założenia: 1. a ≠ 0 ⇒ 1 ≠ 0 ⇒ m ∊ ℛ, 2. Δ > 0 ⇒ 16 − 4m > 0 ⇒ m < 4 ⇒ m ∊ (−∞, 4), 3. a*f(p) > 0 ⇒ 1*(−3 + m) > 0 ⇒ m > 3 ⇒ m ∊ (3, +∞),

	−b		4
4.		> 0 ⇒		> 0 ⇒ m ∊ ℛ
	2a		2

Przedziałem wspólnym rozwiązań założeń 1. i 2. i 3. i 4. jest przedział (3, 4). Odp.: Równanie −x² + 4x = m ma dwa pierwiastki, z których każdy jest większy od 1 dla m ∊ (3, 4). Sposób drugi zaraz podam.

Bogdan: Zadanie 1, sposób 2. Równanie: −x² + 4x = m. Mamy tu 2 wykresy: y = −x² + 4x (parabola) oraz y = m (linia prosta będąca wykresem funkcji stałej). Wierzchołek paraboli W(x_w, y_w) = (2, 4). Prosta y = m może znajdować się w różnym położeniu (zielona linia). Szukamy takiego jej położenia, w którym przecinać będzie parabolę w dwóch punktach, odcięte tych punktów są większe od 1 (x₁ > 1 i x₂ > 1). Takie położenie prosta y = m przyjmuje dla m ∊ (3, 4). Dodam na zakończenie uwag do zadania 1, że podczas matury należy zastosować sposób 1, a sposób 2 można dołączyć, ale tylko jako ilustrację rozwiązania. Podkreślam, że sposób 2 nie jest analitycznym rozwiązaniem i formalnie nie może być uznany za pełne rozwiązanie zadania.

Bogdan: Dużą rolę w ocenie rozwiązania ma jego sposób zapisu i załączone ilustracje. Zapisy muszą być poprawne językowo, bez błędów ortograficznych i gramatycznych, czytelne (chodzi o charakter pisma, nie mogą być bazgroły, powinny być dość duże litery i inne symbole, nie zgniecione zapisy ułamków, bez żadnych ozdobników i pochyleń, np. co innego oznacza pionowa kreska |, a co innego ukośna w jedną stronę / i ukośna w drugą stronę \). Ale przede wszystkim zapisy muszą być jasne, zrozumiałe, logiczne, spójne, każde następny zapis powinien wynikać z poprzednich. Egzaminator i każdy sprawdzający naszą pracę po pierwszym spojrzeniu na arkusz powinien odnieść pozytywne wrażenie estetyczne. Praca brzydko napisana, z wieloma nieładnymi przekreśleniami, zmuszająca czytającego do wzrokowego wysiłku, bo literki, cyferki i inne znaki są małe − takiego pozytywnego wrażenia nie zapewnia. Każde zadanie powinno zawierać odpowiedź. Każdy rysunek powinien być staranie opisany. Każde wprowadzone oznaczenie literowe powinno być opisane lub w ostateczności pokazane na dołączonym do rozwiązania rysunku. Sprawdzający nie może tracić czasu na odszyfrowywanie rozwiązania i nie powinien zastanawiać się i zgadywać, co autor miał na myśli. Starczy tych ogólnych uwag, chociaż można by jeszcze co nieco dodać, przejdźmy teraz do zadania 2. Zadanie 2. a = 6, b = 5. 90^o < γ < 180^o. Szukamy długości c, c > 0. 1. Z warunku trójkąta otrzymujemy: c < 5 + 6 = 11 2. Jeśli trójkąt jest rozwartokątny, to uwzględniając przyjęte oznaczenia mamy: a² + b² < c². Stąd c > √a² + b² ⇒ c > √36 + 25 = √61 Odp.: Długość najdłuższego boku trójkąta c ∊ (√61, 11).

Bogdan: Zadanie 3. Wiedząc, że log a = −3, log b = 2, oblicz wartość wyrażenia a³ * b⁴. Założenia: a > 0, b > 0. log a = −3 ⇒ a = 10⁻³ ⇒ a³ = (10⁻³)³ = 10⁻⁹; log b = 2 ⇒ b = 10² ⇒ b⁴ = (10²)⁴ = 10⁸. a³ * b⁴ = 10⁻⁹ * 10⁸ = 10⁻¹. Odp.: Jeśli log a = −3, log b = 2, to a³ * b⁴ = 10⁻¹.

Kuba: Dzień dobry Hmmm nie wiem dlaczego nie zawija mi tekstu. Może ktoś pomoże? Może teraz mi się zawinie Co do zadania 1 zapomniałem dodać miejsc zerowych, ale obliczyłem je, ale na p i q już nie wpadłem w nocy ale za to 2 sposobem rozwiązałem na kartce tylko nie wiem dlaczego wydawało mi się za proste i zrezygnowałem dobrze wiedzieć że 1 zadanie należy rozwiązać 1 sposobem podanym przez Ciebie, bo ja na maturze pewnie obliczyłbym 2 sposobem. nie rozumiem założeń 3 i 4, przy 1 zadaniu 1 sposobem. super że udało mi się zrobić zadanie 2 i 3. Czy zadanie 3 wykonane moim sposobem jest dobrym rozwiązaniem? I mam nadzieje że odczytałeś coś z tego zawijasa.

Bogdan: Ad. zad. 1. Nie potrzeba wyznaczać miejsc zerowych. Co do założeń, to narysuj szkic paraboli przecinającej oś x w dwóch punktach, wprowadź na tej osi dwa dodatkowe punkty: jeden o wartości p na lewo od x₁, drugi o wartości q na prawo od x₂, zaznacz również na osi odciętą wierzchołka paraboli x_w i teraz patrząc na rysunek spróbuj zrozumieć założenia. Ad. zad. 3. Dobrze rozwiązałeś to zadanie.