Wielomian xxx: Wielomian W (x) = (m − 4)x³ − (m + 6)x² − (m − 1)x+ m + 3 jest podzielny przez dwumian x + 1 . Dla jakich wartości parametru m wielomian W (x) ma dokładnie dwa pierwiastki?

AS: Jeżeli wielomian ma mieć dokładnie dwa pierwiastki, to musi być stopnia drugiego. Oznacza to,że m − 4 = 0 czyli m = 4. Tylko nie rozumiem po co jest potrzebny warunek podzielności przez x + 1. Dla m = 4 wielomian W(x) przyjmuje postać −10*x² − 3*x + 7. Δ wyliczona jest dodatnia a pierwiastki x1 = −1 , x2 = 0.7

Mariusz: xxx: może przy podzielnosći przez dwumian nie ma reszty. Może o to chodzi A może ma dwa pierwiastki w tym jeden podwójny, też jest taka możliwość. I dlatego tak piszą.

AD: Jeden pierwiastek x1 = −1

	13
a drugi dla m = −		jest podwójny x2 = 0,4
	3

AS: To jakieś nieporozumienie. Dokładnie dwa,a więc dwa, z podwójnym byłoby trzy.

Mariusz: no właśnie, też do końca nie rozumiem tej treści, ale to co wyliczyłeś jest dobre bo mi też tak wyszło

xxx: (m−4)x³−m(x+6)x²−(m−1)x+m+3= {(m−4)x³+(m−4)x²}−{(2m+2)x²+(2m+2)x}+{(m+3)x+m+3)= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (x+1){(m−4)x²−(2m+2)x+(m+3)} −−−−−−−−−−−−−−− =nie rozumiem tego grupowania wyrazu?

xxx:

	13		1
ODPOWIEDZI m=−		m=−		lub m=4
	3		4

Mariusz: xxx, czy ma mieć tylko dwa pierwiastki Jeśli tak to pierwsze rozwiązanie Asa jest dobre m=4

xxx: Wielomian W (x) = (m − 4)x − (m + 6)x − (m − 1)x+ m + 3 jest podzielny przez dwumian x + 1 . Dla jakich wartości parametru m wielomian W (x) ma dokładnie dwa pierwiastki?

xxx: postaw x= −1 pod (x+1){(m−4)x²−(2m+2)x+(m+3)} i wylicz m

Mariusz: udało ci się wyliczyć jakiekolwiek m Jak tak to napisz jakie

xxx: Sprawdźmy kiedy wielomian w nawiasie ma dokładnie jeden pierwiastek. Jeżeli m = 4 , to mamy równanie − 10x+ 7 = 0 , które ma dokładnie jedno rozwiązanie (i jest ono różne od x = − 1 ). Jeżeli m ⁄= 4 , to sprawdźmy kiedy Δ = 0 . 0 = Δ = (2m + 2)² − 4 (m − 4)(m + 3) = 4(m + 2m + 1 − m + m + 12) = 4(3m + 13) ⇒ m =

	13
−		.
	3

Sprawdźmy jeszcze, że ten jedyny pierwiastek nie jest równy −1. Jeżeli podstawimy x = − 1 to mamy

	1
0 = m − 4 + 2m + 2 + m + 3 ⇒ 4m = − 1 ⇒ m = −
	4

	13
Zatem w przypadku m = −		jedyny pierwiastek równania w nawiasie nie jest równy −1.
	3

	1
Z drugiej strony, jeżeli m = −		to patrząc na wyliczoną wcześniej Δ −ę, widzimy, że
	4

równanie w nawiasie ma dwa pierwiastki i jeden z nich to x = − 1 . Zatem wyjściowe równanie ma w tym przypadku dwa pierwiastki.

Mariusz: sprawdz jeszcze raz dla m=4

xxx: Oznacza to,że m − 4 = 0 czyli m = 4. które ma dokładnie jedno rozwiązanie (i jest ono różne od x = − 1 ).

Mariusz: dla m=4 W(x)= −10*x² − 3*x + 7 jeżeli za x podstawimy −1 do co otrzymamy −m+4−m−6+m−1+m+3=0

Mariusz: wydaje mi się że dokładnie dwa pierwiastki będą tylko dla m=4 tylko wtedy otrzymujemy wielomian drugiego stopnia.

xxx: juz sam niewiem (m−4)x³−m(x+6)x²−(m−1)x+m+3= {(m−4)x3+(m−4)x2}−{(2m+2)x²+(2m+2)x}+{(m+3)x+m+3) wyjasnij mi to grupowanie ?

Mariusz: ja nie grupuje

AS: Dzieląc W(x) przez x + 1 otrzymałem w wyniku (m − 4)*x² − 2*(m +1)*x + m + 3 Przyrównując do zera otrzymuję równanie (m − 4)*x² − 2*(m +1)*x + m + 3 = 0 Wyróżnik Δ = 4*(m + 1)² − 4*(m − 4)*(m + 3) a po uporządkowaniu Δ = 4*(3*m + 13) Wnioskuję: Gdy 3*m + 13 = 0 czyli m = −13/3 równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki równe Gdy 3*m + 13 > 0 posiada dwa pierwiastki rzeczywiste różne łącznie z x = −1 3 pierwiastki Gdy 3*m + 13 < 0 równanie kwadratowe nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Oczekuję dyskusji.

Bogdan: Włączam się do dyskusji. Sądzę, że mamy tu do czynienia z typowym równaniem kwadratowym z parametrem o następującej treści: Dla jakich wartości parametru m równanie: (m − 4)x² − 2(m + 1)x + m + 3 = 0 ma jeden pierwiastek. Analizując wielomian W(x) można dojść do wniosku, że autor zadania wymnożył równanie (m − 4)x² − 2(m + 1)x + m + 3 = 0 przez dwumian (x + 1) otrzymując równanie trzeciego stopnia (m − 4)x³ − (m + 6)x² − (m − 1)x + m + 3 = 0, którego lewa strona jest wielomianem W(x). Rozwiązujemy więc zadanie: Dla jakich wartości parametru m równanie: (m − 4)x² − 2(m + 1)x + m + 3 = 0 ma jeden pierwiastek. a = m − 4, b = −2(m + 1), c = m + 3. Rozpatrujemy dwa przypadki: 1. a = 0. 2. a ≠ 0. Ad 1. Dla a = 0 ⇒ m = 4 otrzymujemy równanie pierwszego stopnia:

	7
−10x + 7 = 0 ⇒ x =		, jest wiec 1 rozwiązanie
	10

Ad 2. Dla a ≠ 0 otrzymujemy równanie drugiego stopnia, które ma 1 rozwiązanie ⇔ Δ = 0.

	−13
Δ = 0 ⇒ 4(3m + 13) = 0 ⇒ m =
	3

	−13		2		2
Dla m =		równanie przyjmuje postać: (x −		)2 = 0 ⇒ x =		,
	3		5		5

jest to pierwiastek podwójny. Odp.: Równanie: (m − 4)x² − 2(m + 1)x + m + 3 = 0 ma jedno rozwiązanie dla m = 4 lub

	−13
m =		.
	3

	−13
Podsumowując: wielomian W(x) ma dwa pierwiastki różne dla dla m = 4 lub m =		.
	3

Nic więcej ponad to, co stwierdził wcześniej As, do rozwiązania nie dodałem.

AS: Sądzę,że cały problem tkwi w sformułowaniu <dokładnie dwa pierwiastki.> Jak autor zadania to rozumiał?

Bogdan: Czy jest jakaś różnica między sformułowaniami: "dwa pierwiastki" i "dokładnie dwa pierwiastki"? A czy mogą być niedokładnie dwa pierwiastki? Na siłę mogą być, ale jest to już przerost formy. Wystarczyło tutaj powiedzieć: "dwa pierwiastki", dodatek w postaci słowa "dokładnie" jest zbędny. Jest oczywista różnica między sformułowaniami: "są pierwiastki" i "są różne pierwiastki", ale to już inne zagadnienie.

AS: Coś mi się widzi że spór o pietruszkę. Dokładnie dwa pierwiastki to x1 i x2 i nie ma już innych. Niektórzy przypadek x1,x2 = x3 traktują też jako dwa pierwiastki, chociaż są trzy.(x1 i jeden podwójny)