zadanka studium talent Cieply: lim n−>inf (1+2ⁿ−3ⁿ) lim n−>inf ⁿ√n!

Cieply: jak udowodnić że pierwszy a_n −> −inf i b_n −> inf ?

MQ: a_n −− wystarczy pokazać, że 2ⁿ−3ⁿ → −∞

PW: Wskazówka do pierwszego. Trzeba to pokazać z definicji, to znaczy że dla dowolnej M>0 istnieje k∊N, taka że 1+2ⁿ−3ⁿ <−M dla wszystkich n>k, czyli (1) M+1 < 3ⁿ−2ⁿ

	2
To jest "prawie że oczywiste" − po lewej stronie jest stała, a po prawej 3n(1−(		)n)
	3

(iloczyn ciągu rozbieżnego do +∞ i zbieżnego do 1 (rosnącego, którego wyrazy należą do

	1
<		, 1)).
	3

Zamiast więc pokazać nierówność (1) można pokazać wiecej, że

	1
(2) M+1 < 3n		=3n−1
	3

dla dostatecznie dużych n Obliczenie logarytmu o podstawie 3 z obu stron nierówności pokazuje jak duże musi być n.