indukcja Kamil: Cześć. Mam takie pytanie. Mam udowodnić że dla każdego n naturalnego zachodzi pewna nierówność. Kłopot w tym że tan ciąg jest malejący czy można zastosować indukcję matematyczną na odwrót czyli najpierw zacząć od k+1 a potem dopiero k?

Tad: ... skoro ma zachodzić dla każdego... Najlepiej wrzuć całe zadanko

MQ: Raczej nie, bo udowodniłbyś, że jeżeli Tw. jest prawdziwe dla pewnego dowolnego k+1, to jest prawdziwe dla wszystkich mniejszych od k+1. A to nie wyklucza, że dla jakiegoś większego od k+1 nie zajdzie Tw.

Kamil: 1/(n+1) + 1/(n+2) + ...... + 1/(3n+1) > 1

PW: Znana jest nierówność

	1		1		1		13
		+		+...+		>
	n+1		n+2		2n		24

Dokładając do tego

1		1		1		1		1
	+		+...+		>(n+1)		>
2n+1		2n+2		3n+1		3n+1		3

	13		8		21
bez trudu mamy dowód, że zadana suma jest większa od		+		=		,
	24		24		24

ale od jedynki?

Bogdan: Przecież dla indukcji nie ma znaczenia, czy ciąg jest rosnący, czy malejący. Każdy następny wyraz ciągu jest po prostu następny i może być większy lub mniejszy od poprzedniego.

Trivial: Dla uproszczenia definiujemy ciąg harmoniczny:

	1		1		1
Hn = 1 +		+		+ ... +		.
	2		3		n

Zauważmy, że

	1		1		1
		+		+ ... +		= H3n+1 − Hn.
	n+1		n+2		3n+1

Czyli chcemy wykazać H_3n+1 − H_n > 1 Dla n = 0 teza nie zachodzi, ale dla n = 1 mamy:

	1		1		1		6+4+3		13
H4 − H1 = 1 +		+		+		− 1 =		=		> 1 OK
	2		3		4		12		12

Krok indukcyjny H_3n+1 − H_n > 1 ⇒ H_3n+4 − H_n+1 > 1

	1		1		1		1
H3n+4 − Hn+1 = H3n+1 +		+		+		− Hn −
	3n+2		3n+3		3n+4		n+1

	1		1		1		1
= H3n+1 − Hn + (		+		+		−		)
	3n+2		3n+3		3n+4		n+1

To ma być większe od 1. Z założenia indukcyjnego H_3n+1 − H_n > 1, zatem wystarczy wykazać

	1		1		1		1
		+		+		−		> 0
	3n+2		3n+3		3n+4		n+1

Dalej dasz radę.

PW: Tak jest, Trivial pokazał to pięknie. Mówiąc po chłopsku można po prostu udowodnić, że ciąg

	1		1		1
Sn =		+		+... +
	n+1		n+2		3n+1

jest rosnący (w następnym wyrazie ubywa jeden − początkowy składnik poprzedniego − ale przybywają trzy, które w sumie są większe niż ten stracony).

	1		1
Wskazówka: najpierw odjąć		−		.
	3(n+3)		n+1

Trivial: PW, pewnie że można. Kamil chciał jednak zobaczyć, czy można indukcją.

Kamil: Wielkie dzięki

PW: Jasne, chciałem tylko zwrócić uwagę Kamilowi, że niesłusznie twierdził, iż ciąg sum jest malejący. A w ogóle podziwiam Twoje systemowe podejście do rzeczy

anka: 234cp,bgt