xxx xxx: dla jakich wartości parametrów p i q liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x³−5x²+px+q

xxx: niewiem czy mam dobrze

xxx: −3 i 3 podstawic do Wx i układ równań?

Bogdan: Zadania z wielomianem z parametrami dość często i łatwo rozwiązuje się zapisując wielomian w postaci iloczynowej. W(x) = (x − 3)(x − 3)(x − α), gdzie x₁ = x₂ = 3, x₃ = α Wykonujemy mnożenie: W(x) = (x² − 6x + 9)(x − α) ⇒ W(x) = x³ − αx² − 6x² + 6αx + 9x − 9α ⇒ ⇒ W(x) = x³ + (−α − 6)x² + (6α + 9) − 9α i W(x) = x³ − 5x² + px + q Stąd: −α − 6 = −5 ⇒ α = −1 6α + 9 = p ⇒ p = −6 + 9 = 3 −9α = q ⇒ q = 9 Otrzymaliśmy nie tylko wartości p oraz q, ale także x₃. W(x) = x³ − 5x² + 3x + 9, x₁ = x₂ = 3, x₃ = −1 W(x) = (x − 3)²(x + 1)

Bogdan: Można również spróbować podzielić W(x) przez (x − 3)² = x² − 6x + 9 x + 1 −−−−−−−−−−−−−− (x³ − 5x² + px + q) : (x² − 6x + 9) −x³ + 6x² − 9x −−−−−−−−−−− = x² + (p−9)x + q −x² + 6x − 9 −−−−−−−−−−−−− Tu reszta jest równa 0, żeby tak było, to musi zachodzić: p − 9 = −6 i q = 9. Otrzymaliśmy: p = 3, q = 9, x₃ = −1.