Księżyce Hipokratesa Edek: Księżyce Hipokratesa wielokąta wpisanego w okrąg O to figury geometryczne ograniczone łukami okręgu O i półokręgami opatrymi na bokach wielokąta, niezawierającymi innych punktów wielokąta poza końcami tego boku, na którym są oparte. Oblicz sumę pól księżyców Hipokratesa zbudowanych dla kwadratu o boku, którego długość jest równa 8 cm.

AS: Bok kwadratu a = 8 cm Promień koła opisanego na kwadracie: r = a*√2/2 Pole koła opisanego na kwadracie: Pk = π*r² = π*a²/2 Pole półkola zbudowanego na jednym boku: P1 = 1/2*π*a²/4 = π*a²/8 Pola księżyców Pks = Pkw + 4*P1 − Pk = a² + 4*π*a²/8 − π*a²/2 = a² +π*a²/2 − π*a²/2 Pks = a² = 64 cm²

Edek: okej dzięki, czyli mam dobry wynik

AS: Rozszerzam problem na wielokąt foremny o n bokach. Kąt środkowy: α = 360^o/n Promień koła opisanego: R = a/(2*sin(α/2)) Pole jednego trójkąta 1 a² a²*ctg(α/2) P1 = 1/2*R²*sin(α) = −*−−−−−−−−− *2*sin(α/2)*cos(α/2) = −−−−−−− 2 4*sin²(α/2) 4 Pole całego wielokąta Pn = n*P1 = n*a²/4*ctg(α/2) Pole koła opisanego na wielokącie Pk = π*R² = π*a²/(4*sin²(α/2)) Pole 1 półkola P1pk = 1/2*π*(a/2)² = π*a²/8 Pnpk = n*π*a²/8 Pola księżyców n*a² n*π*a² π*a² Pks = Pn + Pnpk − Pk = −−−−−*ctg(α/2) + −−−−− − −−−−−−−−− 4 8 4*sin²(α/2)