k __std__call__: Wróciłem niedawno z egzaminu z matematyki . Na razie jestem tylko pewien, że dobrze przekaształciłem wyrażenie do postaci z liczbą e [z definicji liczby e]. Zadziwiło mnie za to zadania − wzór na długość łuku krzywej płaskiej i obliczyć długość okręgu o promieniu a. Próbowałem to sparametryzować i przejść na układ biegunowy ale zaprzestałem bo stwierdziłem, że chyba to nie tak być powinno. Będzie ktoś miły mi to zadanie rozwiązać − przedstawić metodę rozwiązania a nie tylko wynik?

Trivial: Dawaj!

__std__call__: Wpadłem na takie coś: x² + y² = a² x(a) = acosφ y(a) = asinφ acos²φ + asin²φ = a² ... ale nic z tego nie wynika

Krzysiek: x=rcosφ y=rsinφ x² +y² =a² ⇒r² =a² r∊[0,a] φ∊[0,2π] |J|=r

	r2		a2
∫02π∫0a |J|drdφ=2π*		|0a=2π*(		−0)=a2 π
	2		2

Trivial: Zauważ, że sparametryzowałeś okrąg w zależności tylko od φ (a jest stałym parametrem).

	⎧	x(φ) = acos(φ)
C:	⎨		φ ∊ [0,2π]
	⎩	y(φ) = asin(φ)

Mamy zatem: |C| = ∫_C ds = ∫_C √dx²+dy² = ∫₀^2π √(^dx/_dφ)²+(^dy/_dφ)²dφ = ∫₀^2π √a²sin²φ + a²cos²φdφ = a*∫₀^2πdφ = 2πa.

__std__call__: Szkoda bo nie mogłem sobie przypomnieć jak to się liczyło. Dziękuję.

__std__call__: To ja jednak zostawię w spokoju tę moją wcześniejszą koncepcje i ją porzucę . Pierwsza metoda bardziej mi się podoba − jeśli się uda to jutro będę miał "dopytkę" więc muszę uzupełnić luki z dzisiejszego egzaminu . Jeszcze mam jeden problem, którego nie mogę załapać o co chodzi z różniczką zupełną funkcji dwu zmiennych. Przykładowo niech będzie, że mam f(x,y) = 2x + y. Jak to ruszyć?

Trivial: Różniczka zupełna to

	∂f
df = ∑k=1..n		dxk = ∇f∘(dx1, dx2, ..., dxn)
	∂xk

Dla f(x,y) = 2x + y

	∂f		∂f
df = (		,		)∘(dx,dy) = (2,1)∘(dx,dy) = 2dx + dy.
	∂x		∂y

__std__call__:

	x2 + 2x + 1
Czyli dla przykładowo f(x,y) =		mam
	xy

To policzyć z pochodnej ilorazu?

Trivial: Tak.

__std__call__: Zgubiłem się...

	(x2 + 2x + 1)'xy − (x2 + 2x + 1) (xy)'
f'(x, y) =		no i teraz jak to mam
	x2y2

różniczkować wpierw po x potem po y?

∂f		(2x + 2)y − (x2 + 2x + 1)y
	=
∂x		x2y2

Analogicznie po y?

Trivial: Tak.

__std__call__:

∂f		x − (x2 + 2x + 1)x
	=
∂y		x2y2

Czyli różniczka zupełna to:

(2x + 2)y − (x2 + 2x + 1)y + x − (x2 + 2x + 1)x
x2y2

?

__std__call__: Czyli różniczka zupełna to suma różniczek po każdej zmiennej?

Trivial: Dla przypadku f = f(x,y)

	∂f		∂f
df =		*dx +		*dy
	∂x		∂y

	∂f		∂f
Czyli upraszczając wyrażenia		,
	∂x		∂y

∂f		(2x+2)y − (x2+2x+1)y		1−x2
	=		=
∂x		x2y2		x2y

Drugą pochodną łatwiej policzyć bezpośrednio z funkcji (wszystko oprócz y traktujemy jako stałe)

∂f		x2+2x+1		∂		1		x2+2x+1
	=		*		(		) = −
∂y		x		∂y		y		xy2

	1−x2		x2+2x+1
df =		dx −		dy.
	x2y		xy2

Trivial:

	∂f
Przy liczeniu		Twoim sposobem trzeba uważać na to, że:
	∂y

∂
	(x2+2x+1) = 0
∂y

Mila:

	x2 + 2x + 1
f(x,y)=
	xy

∂f		(2x+2)*xy−(2x2+2x+1)*y		(2x+2)x−x2−2x−1		x2−1
	=		=		=
∂x		x2y2		x2y		x2y

∂f		0−(x2+2x+1)*x		−(x+1)2
	=		=
∂y		x2y2		xy2

Przykład 2. Znaleźć różniczkę zupełną I−go rzędu funkcji: f(x,y)=x³+y³−xy

∂f
	=3x2−y
∂x

	∂f
		=3y2−x
	∂y

df=(3x²−y)dx+(3y²−x)dy Czy masz też różniczki wyższego rzędu?

__std__call__: Nie wyższych rzędów nie mam i w zagadnieniach na przyszły semestr również nie mam. Przyszły semestr będę miał już tylko [albo aż] równania różniczkowe I i II rzędu oraz podstawy analizy funkcjonalnej oraz szeregi. Więc chyba się już różniczka wyższych rzędów nie pojawi u mnie. Co w przypadku funkcji złożonej np. takiej: f(x,y) = xln(sinh(y²))? Taki przykład miałem na wykładach więc się mogę czegoś podobne spodziewać.

∂f
	= ... i tam gdzie bym mnożył wcześniejsze wyrażenia przez pochodną argumentu sinh mam
∂x

wstawić 0?

Mila: f(x,y)=x*ln(sinh(y²))

∂f
	=ln(sinh(y2))
∂x

( tak jakbyś miał a*x, (ax)'=a, a stała)

∂f		1		2xycosh(y2)
	=x*		* cosh(y2)*2y=
∂y		sinh(y2)		sinh(y2)

(x jest stalą)

__std__call__: Ok. Staram się zapamiętać.

Mila: Powodzenia

Mila: długość okręgu liczę niezbyt elegancko: ale ten wzzzzzzór pamiętam najlepiej. x²+y²=a² Dla I ćwiartki a>0 y=√a²−x² y'=U{−x}{√a²−x²

	a
L1=0∫a√1+x2/(a2−x2)dx=0∫a		dx= ze wzoru
	√a2−x2

	x
=(a*arcsin		)]0a=
	a

	π
=a*
	2

	aπ
L=4*		=2π
	2

Mila: L=2πa

Buc Kipic: o kurcze ale to wszystko trudne na jakim kierunku studiow to jest na matmie ?

Mila: Na fizyce.

Buc Kipic: ooo

__std__call__: Cześć Jakie to wszystko teraz dla mnie proste Mila .

Mila: Jak leci? Miło, że pamiętasz. Dużo zajęć i nauki?

__std__call__: Zrezygnowałem z fizyki, poszedłem na energetykę. Fizykę mi przepisali, ocenę z ćwiczeń z matematyki też − dostałem trzy proste zadania − jedno równanie różniczkowe 1. rzędu, jedno na całkę podwójną i jedno z szeregów (kryterium de'A.)) . Teraz czuję się dużo lepiej, w końcu coś co mnie naprawdę interesuje, ale z drugiej strony cieszę się, że tę fizykę studiowałem − teraz matematyka i fizyka mi nie straszne i mogę uczyć się trzeczywiście energetyki a nie tak jak inni − wpierw męczyć się z matematyką aby chociaż przeczytać jakieś prawo czy wzór . Jestem m.in. Tobie bardzo wdzięczny za pomoc

Mila: Wydaje mi się,że dobrze zrobiłeś, to bardziej praktyczny kierunek. Ważne, że wytrwałeś do końca roku, zaliczyłeś i dali Ci szansę przepisania przedmiotów. Myślę,że po energetyce są większe szanse na dobrą pracę. W takim razie pracuj pilnie, aby dostać stypendium. Czy musisz zdawać egzamin z fizyki i matematyki?