:)

:) miska: suma dlugosci promienia okregu opisanego na podstawie ostrosłupa prawidlowego trójkątnego i wysokosci ostrosłupa jest równa 2. znajdz tę wartosc promienia okregu dla której ostrosłup ma najwiekszą objętosc

Janek191: a − długość boku trójkąta równobocznego h − wysokość tego trójkąta r − promień okręgu opisanego na tym trójkącie Mamy h = a √3/2 r = (2/3) h = (2/3) a √3/2 = a √3/3 3r = a √3 a = √3 r ⇒ a² = 3 r² ======== oraz r + h = 2 ⇒ h = 2 − r Pp − pole podstawy stożka Pp = a² p{3]/4 = ( 3 r² * √3 )/4 Objętość stożka V = (1/3) Pp*h = (1/3)[ (3 r² *√3)/ 4 ] *( 2 − r) = 0,25 r² *√3 *( 2 − r) V( r) = 0,5 r² √3 − 0,25 r³ √3 ======================== zatem I pochodna V ' (r) = r √3 − 0,75 r² √3 = r √3 *( 1 − 0,75 r) V '(r) = 0 ⇔ r = 0 ∨ 1 − 0,75 r = 0 r musi być > 0, zatem 1 − 0,75 r = 0 (3/4) r = 1 r = 4/3 ======= II pochodna V " ( r) = √3 − 1,5 r *√3 więc V " ( 4/3) = √3 − 1,5 * (4/3) *√3 = √3 − 2 √3 = − √3 < 0 czyli funkcja V ( r) osiąga maksimum lokalne dla r = 4/3 ========================================= Odp. r = 4/3 =============