Dowód na sumę częściową ciągu! Pilne
KUBAA: Dowód na sumę częściową ciągu! Pilne
6 lut 20:28
Janek191:
Jakiego ciągu ?
6 lut 20:39
KUBAA: arytmetycznego
6 lut 20:53
Artur_z_miasta_Neptuna:
studia czy liceum
6 lut 20:59
Artur_z_miasta_Neptuna:
zadanie dodatkowe czy konkursowe
6 lut 20:59
KUBAA: liceum. Zadanie dodatkowe
6 lut 21:05
Artur_z_miasta_Neptuna:
dodatkowe −−− sam zrób
jak nie dajesz rady to może nie powinieneś startować na wyższą ocenę
możesz podać tutaj swoj tok myslenia ... możemy naprowadzić ... ale na pewno nikt Ci nie zrobi
dowodu
6 lut 21:06
Artur_z_miasta_Neptuna:
to musi być Twoja praca
6 lut 21:07
KUBAA: chodzi oto że jest to zadanie dodatkowe ale jak go nikt jutro nie zrobi to z systemu ja go
muszę zrobić i to na ocene
6 lut 21:29
Artur_z_miasta_Neptuna:
no to ruszaj ... pisz jak chcesz to udowodnić ... będziemy naprowadzać ... tak jak wczesniej
napisałem −−− na gotowca nie masz co liczyć
6 lut 21:31
Maslanek: Myśląc logicznie
Dziabnąłbym tak
a
1
a
2=a
1+r
a
3=a
1+2r
...
...
...
a
n−2=a
1+(n−3)r
a
n−1=a
1+(n−2)r
a
n=a
1+(n−1)r
Teraz dopasowywując w pary a
1−a
n ; a
2−a
n−1 dostajesz takie same wyrazy, których jest
6 lut 21:36
Artur_z_miasta_Neptuna:
dobra .... nie będę męczył ... wskazówka:
S
n = a
1 + a
2 + a
3 + .... + a
n−2 + a
n−1 + a
n
zauważ, że:
a
1 = a
1 + 0r
a
2 = a
1 + 1r
a
3 = a
1 + 2r
........
a
n−2 = a
1 + (n−3)r
a
n−1 = a
1 + (n−2)r
a
n = a
1 + (n−1)r
a teraz 'pogrupuj' odpowiednie elementy ze sobą i co zauważasz
6 lut 21:37
Janek191:
a1 + an
Sn = −−−−−− *n
2
Dowód indukcyjny:
Dla n = 2 wzór jest prawdziwy, bo
S2 = a1 + a2 = 0,5 *( a1 + an) *2
Zakładamy, że wzór jest prawdziwy dla pewnej liczby naturalnej n ( n ≤ k − 1 , gdy
ciąg jest k − wyrazowy ) i rozważmy sumę Sn +1
Sn+1 = Sn + an + 1 = 0,5 *[ a1 + an ]*n + an + 1 =
= 0,5 *[ a1 + a1 + ( n −1)*r ]*n + 0,5 * [ 2 *( a1 + n*r)] =
= 0,5 *[ ( a1 + a1 + ( n −1)*r) *n + 2*( a1 + n*r)] =
= 0,5 *[ 2 a1 *( n + 1) + n*(n + 1)*r ] =
= 0,5 *[ 2 a1 + n*r]*( n + 1) =
= 0,5 *[ a1 + a1 + n*r ] * ( n + 1) =
= 0,5*[ a1 + an + 1]* ( n + 1)
czyli na podstawie indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby
naturalnej n.
6 lut 21:38
Janek191:
Tam jest pomyłka − w II wierszu dowodu powinno być a2 zamiast an.
6 lut 21:40
KUBAA: Sn=a1+a2+...+an−2+an−1+an
Sn=a1+(a1+r)+(a1+2r)+...+(a1+(n−3)r)+(a1+(n−2)r)+(a1+(n−1)r)
i sumy wyrazu 1 i ostatniego wyrazu 2 i przedostatniego itd to nam da n/2 czynników
6 lut 21:42
Artur_z_miasta_Neptuna:
doradzam
osobno dwa przypadki ... gdy n parzyste i gdy n nieparzyste
6 lut 21:43
KUBAA: czyli zamiast n to k a drugi przypadek 2k ?
6 lut 21:45
Trivial:
Można to zrobić przez zaburzanie. Postaram się wyjaśnić.
Mamy sumę kwadratów liczb naturalnych:
S
n = 1
2 + 2
2 + 3
3 + ... + n
2
Przedstawiamy składniki w formie (k+1)
2
S
n = 1 + (1+1)
2 + (2+1)
2 + (3+1)
2 + .. + [(n−1)+1]
2
Rozwijamy każdy składnik.
S
n = 1 + (1
2+1 + 2*1) + (2
2+1 + 2*2) + (3
2+1 + 2*3) + .. + [(n−1)
2+1 + 2*(n−1)]
Grupujemy składniki...
S
n = [1
2+2
2+3
3+...+(n−1)
2] + 1*n + 2*[1+2+3+...+(n−1)]
= S
n−1 + n + 2*[1+2+3+...+(n−1)]
Skąd mamy:
| | 1 | | 1 | | n(n−1) | |
[1+2+3+...+(n−1)] = |
| (Sn − Sn−1 − n) = |
| (n2−n) = |
| / + n |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
| | n(n−1) | | n−1 | | n(n+1) | |
[1+2+3+...+n] = |
| + n = n( |
| + 1) = |
| |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
Policzenie z tego sumy dowolnego ciągu a
n = a
0 + r*n jest już bardzo proste (trzeba
pogrupować składniki)
6 lut 22:18