Wykazać nierówność ∀x,y∈R |x + y| <= |x| + |y| Adrian: Wykazać nierówność ∀x,y∈R |x + y| <= |x| + |y|. Proszę o dokładne wytłumaczenie tego zadania niedaje sobie z nim rady.

PW: Można analizować przypadki co będzie jeśli obie liczby x i y są dodatnie, obie ujemne i jedna z nich innego znaku niż druga (przypadek, gdy któraś z liczb jest zerem jest oczywisty). Można jednym pociągnięciem: 2xy≤|2xy| (z definicji wartości bezwzględnej) x²≤|x|² (tak naprawdę jest to równość) y²≤|y|² co po dodaniu stronami wszystkich trzech nierówności daje x²+2xy+y²≤|x|²+|2xy|+|y|² (x+y)²≤(|x|²+2|x||y|+|y|² (x+y)²≤(|x|+|y|)² |x+y|²≤(|x|+|y|)² Po obu stronach nierówności są kwadraty liczb nieujemnych. Dla liczb nieujemnych funkcja kwadratowa jest rosnąca, a więc z ostatniej nierówności wynika |x+y|≤|x|+|y| cbdo. Odpowiedź na pytanie "kiedy ma miejsce równość" można wyczytać w dowodzie wyżej.