calkowalnosc i rozniczkowalnosc def
a.k.: Witam! Mam takie pytanie bo na egzaminie zazwyczaj jest jakas funkce i mam wykazac czy jest
ciągła.
A nastepnie czy jest różniczkowalna / calkowalna. I teraz moje pytanie.
1) Jesli funkcja nie jest ciagla to na pewno nie jest rozniczkowalna.?
2) Jesli funkca jest ciagla to jak wykazac ze jest rozniczkowalna?
Wystarczy jesli granica w punkcie x0 jest wlasciwa?
3 ) Jesli funkcja jest ciagla to na pewno jest calkowalna?
4) A jesli jest nie ciagla to moze tez byc calkowalna i jak to wykazac?
Wystarczy stwierdzenie ze jest nie ciagla II rodzaju?
Bo tak kolega mi powiedzial ale nie wydaje mi sie ze to wystarczy?
Bardzo prosze o pomoc i z góry dziekuje
6 lut 18:44
Basia:
ad.1
tak, oczywiście w p−cie nieciągłości
ad.2
nie wystarczy; musi być właściwa i równa f(x0)
ad.3
tak
ad.4
Funkcja ograniczona określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy
jest prawie wszędzie ciągła, tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny. (czyli
topologicznie: jest zbiorem miary 0)
6 lut 19:04
a.k.: dziekuje za odp. Ale co do 4 moglabys mi to konkretniej jeszcze napisac? bo kompletnie nie wiem
o co chodzi
np mam funkcie
ex, x∊[−2,0]
1/x x∊(0, 3)
Funkcja nie jest ciagla i jak udowodnic ze nie jest calkowalna?
6 lut 19:35
a.k.: pomoze ktos?
6 lut 22:19
Artur_z_miasta_Neptuna:
| | f(x+h) − f(x) | |
ad2. limh−>0 |
| musi istnieć dla każdego punktu 'x' w danym przedziale |
| | h | |
ad4. innymi słowy −−− jest przeliczalna liczba punktów nieciągłości
przykład ...
| | ⎧ | x gdy x≠0 | |
| f(x) = | ⎩ | 1 gdy x=0 |
|
6 lut 22:29
Basia: to co napisałam nie dotyczy tej funkcji; ona nie jest ograniczona
6 lut 22:30
a.k.: czyli jesli jakas funkcja nie jest ciagła i
a) nie jest ograniczona to nie jest calkowalna?
b) jest ograniczona i ma policzalna liczbe nieciaglosci to jest calkowalna?
6 lut 22:35
Basia:
(b) tak
(a) nie jestem pewna, może Artur pamięta
6 lut 22:42
a.k.: ale to funkcja ktora Artur podal nie jest calkowalna?
Bo ma niby jeden punkt nieciaglosci w x=0 ale nie jest przeciez ograniczona..
6 lut 22:45
Basia: ależ ona jest na każdym przedziale domkniętym ograniczona
natomiast Twoja nie
6 lut 22:53
Artur_z_miasta_Neptuna:
albo inaczej ... funkcja w otoczeniu punktu nieciągłości musi być ograniczona
6 lut 22:58
a.k.: punkty nieciaglosci juz rozumiem dziekuje
ale czemu moja funkcja na kazdym przedziale nie jest ograniczona?
dlatego bo ta funkcja ogolnie jest tylko dla przedzialu [−2,3) ?
6 lut 23:05
Basia:
| | 1 | |
w otoczeniu 0 nie jest ograniczona; przecież limx→0 |
| = +∞ |
| | x | |
czyli lim
x→0+ f(x) = +
∞
natomiast lim
x→0− f(x) = e
0 = 1
i dlatego np. na przedziale [−2;0] albo [0,1; 2,9] ona jest całkowalna
a na żadnym przedziale postaci (a,b) gdzie a<0 a b>0 nie
6 lut 23:12