cosα cosβ = a i sinα sinβ = b Bogdan: Zadanie Asa: cosα + cosβ = a i sinα + sinβ = b. Obliczyć sin(α + β) i cos(α + β)

	α+β		α−β		α+β		α−β
2cos		cos		= a i 2sin		cos		= b
	2		2		2		2

Dzielimy równania stronami:

α+β   α−β   2cos cos   2   2		a
	=
α+β   α−β   2sin cos   2   2		b

	α+β		a
ctg		=		,
	2		b

	α+β		a		cosγ		a		a
oznaczmy:		= γ ⇒ ctgγ =		⇒		=		⇒ cosγ =		sinγ
	2		b		sinγ		b		b

	a2
sin2γ + cos2γ = 1 ⇒ sin2γ +		sin2γ = 1 / *b2
	b2

	b2
sin2γ * (a2 + b2) = b2 ⇒ sin2γ =
	a2 + b2

	b2		a2
i cos2γ = 1 −		=
	a2 + b2		a2 + b2

	α+β		b2		a2
sin22γ = 4sin2γcos2γ ⇒ sin22*		= 4*		*		⇒
	2		a2 + b2		a2 + b2

	4a2b2		± 2|ab|
⇒ sin2(α+β) =		⇒ sin(α+β) =
	(a2 + b2)2		a2 + b2

	α+β		a2		b2
cos2γ = cos2γ − sin2γ ⇒ cos2*		=		−		⇒
	2		a2 + b2		a2 + b2

	a2 − b2
⇒ cos(α+β) =
	a2 + b2

	± 2|ab|		a2 − b2
Odp.: sin(α+β) =		, cos(α+β) =		.
	a2 + b2		a2 + b2

AS: Inny wariant I α+β α−β 2*cos−−−−*cos−−−− = a 2 2 α+β α−β 2*sin−−−−*cos−−−−− = b 2 2 stronami mnożymy α−β 2*sin(α+β)*cos²−−−−− = a*b [1] 2 II cos²α + 2*cosα*cosβ + cos²β = a² sin²α + 2*sinα*sinβ + sin²β = b² stronami dodajemy 1 + 2*cos(α − β) + 1 = a² + b² a² + b² − 2 cos(α − β) = −−−−−−−−− [2] 2 Korzystam z tożsamości cos²(α/2) = (1 + cosα)/2 α−β a² + b² − 2 a² + b² cos²−−−− =1/2*(1 + cos(α−β)) = 1/2*(1 + −−−−−−−−) = −−−−−− [3] 2 2 4 Podstawiam [3] do [1] a²+b² 2*a*b 2*sin(α+β)*−−−−−−= a*b → sin(α+β) = −−−−−−− 4 a² + b²