udowodnij alen: udowodnij ze n⁷−n jest podzielne przez 7

Saizou : np. z małego tw. Fermata

alen: nie znam tego proszę o jakieś najprostsze rozwiązanie

Trivial: dużo dowodów tego twierdzenia: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ma%C5%82e_twierdzenie_Fermata

alen: a mógłby mi to ktoś rozpisać bez tego twierdzenia byłbym wdzięczny

Mila: n∊N Przez 7 na pewno podzieli się liczba : (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n+3) jako iloczyn siedmiu kolejnych liczb całkowitych, przekształcamy iloczyn na sumę =(n−3)(n+3)(n−2)(n+2)(n−1)(n+1)n= =(n²−9)(n²−4)(n²−1)n= =(n⁴−4n²−9n²+36)*(n³−n)= =(n⁴−13n²+36)(n³−n)= =n⁷−n⁵−13n⁵+13n³+36n³−36n=n⁷−14n⁵+49n³−36n= rozbijamy na dogodne skladniki =n⁷−n+(49n³−14n⁵−35n) wiemy, że ta liczba dzieli się przez 7 jako iloczyn 7 kolejnych liczb całkowitych. suma (49n³−14n⁵−35n) jest podzielna przez 7 niezależnie od wyboru n, w takim razie n⁷−n też musi być podzielne przez 7.