obliczanie watości przybliżonej ze wzoru Taylora q: mam taką prośbę, czy ktos mógłby mi wyjaśnić jak się oblicza przybliżoną wartość ze wzoru Taylora. Próbowałam to zrozumieć na podstawie książki i nie potrafię tego pojąć ...

	1
np jeśli mam takie zadanie: obliczwartość wyrażenia		z dokładnością do 0,001.
	3√e

wiem, że należy zamienić na e^−1₃ i będzie f(x) = e^x ale co dalej?

Trivial: Rozwijamy funkcję f(x) = e^x w szereg taylora w otoczeniu punktu x = 0. Wszystkie pochodne są takie same i wynoszą f^(k)(x) = e^x, f^(k)(0) = 1. Zatem

	xk		xk
ex = ∑k = 0∞		= ∑k = 0n		+ Rn(x)
	k!		k!

Chcemy wiedzieć gdzie uciąć sumowanie szeregu aby reszta była |R_n(−¹₃)| < 0.001 Zapisujemy resztę w postaci Lagrange'a

	xn+1
Rn(x) =		f(n+1)(ξ) dla pewnego ξ ∊ [0,x].
	(n+1)!

Jako że nasza funkcja ma rosnącą pochodną (n+1) stopnia możemy napisać

	xn+1		xn+1
|Rn(x)| ≤ |		f(n+1)(x)| = |		ex|
	(n+1)!		(n+1)!

Mamy zatem

	(−1)n+1		1
|Rn(−13)| ≤ |		e−1/3| ≤
	3n+1(n+1)!		3n+1(n+1)!

Chcemy aby |R_n(¹₃)| < 0.001 Wystarczy że przyjmiemy n takie że

	1
		< 0.001
	3n+1(n+1)!

Możemy próbować kolejne n = 1,2,3 aż zadziała Nierówność jest spełniona już dla n=3. Sumujemy:

	1		1		1		58
e−1/3 ≈ 1 −		+		−		=		= 0.716049...
	3*1!		9*2!		27*3!		81