Proszę o rozwiązanie Emcia: W którym z następujących punktów −2 lub 1 funkcja f(x)=(x+2)²(x−1)³ ma ekstremum?

Basiek: f'(x)=0 f'(x)=6(x+2)(x−1)² f'(x)=0 ⇔ x=−2 lub x=1 Ale... f'(x)>0 dla x∊(−2,1)∪(1.+∞) f'(x)<0 dla x∊(−∞,−2) Zmiana znaku pierwszej pochodnej zachodzi jedynie przy x=−2 i to jest ekstremum funkcji.

PW: Odpowiedź to może i dobra (przypadkowo), ale pochodna − nie. f(x) jest wielomianem piątego stopnia, wiec pochodna musi być stopnia czwartego.

krystek: Podpowiemy : należało zastosować wzór na pochodna iloczynu − szybszy sposób lub wymnożyc i pochodną sumy.

PW: Jeśli się uprzeć, to można nawet bez znajomości pochodnych odpowiedzieć na pytanie. Wiadomo, że (x−1)³ zmienia znak przy przejściu przez 1 (z lewej strony jedynki jest ujemna, a z prawej dodatnia). W dostatecznie małym otoczeniu liczby 1 wielomian (x+2)² jest stale dodatni. Wniosek: iloczyn (x+2)²(x−1)³ w pewnym lewostronnym sąsiedztwie liczby 1 jest ujemny, a prawostronnym − dodatni. Oznacza to, że iloczyn ten nie ma ekstremum w punkcie x₀=1. Podobne rozumowanie przeprowadzone dla x₁=−2 pozwala wywnioskować, że: f(−2)=0 f(−2−d)=(−2−d+2)²(−2−d−1)³=(−d)²(−3−d)³<0 dla dowolnej d>0 f(−2+d)=(−2+d+2)²(−2+d−1)³=d²(−3+d)³<0 dla dowolnego d∊(0,3) Wniosek: f(−2)=0, a w pewnym sąsiedztwie liczby (−2) jest f(x)<0, czyli f(−2) jest maksimum lokalnym (maksimum to jest równe 0). Poprawnie rozumujący licealista może więc rozwiązać to zadanie, jeśli tylko ana pojęcie ekstremum lokalnego. A powiedz, Emciu, jesteś w liceum, czy na studiach?

Emcia: W liceum nie miałam takich zadań dlatego teraz na studiach to dla mnie czarna magia. Nie wiem co robić po kolei zadania na tej stronce były łatwe ale w tym nie wiem od czego zacząć...

PW: 1. Poprawnie obliczyć pochodną funkcji f (tak jak radził krystek − jako pochodną iloczynu) 2. Rozwiązać równanie f'(x)=0 (robimy to, gdyż jest znane twierdzenie − warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, które w skrócie brzmi: jeżeli f ma ekstremum w punkcie x₀ i jest różniczkowalna, to f'(x₀)=0). 3. Po wyłonieniu w punkcie 2. "podejrzanych o ekstremum" weryfikujemy, czy rzeczywiście w tych punktach f osiąga ekstremum. Ta weryfikacja polega na stwierdzeniu, czy w otoczeniu podejrzanego punktu pochodna zmienia znak, czy też jest ciągle dodatnia (ujemna). Jeżeli zmienia znak, to f ma tam ekstremum, musimy więc rozwiązać nierówności f'(x)>0 i f'(x)<0 i popatrzeć − jaki znak ma pochodna z lewej strony x₀, a jaki z prawej. To co w 2. nazywa się warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, a 3. − warunkiem dostatecznym. Trzeba dokładnie zapoznać się z tymi twierdzeniami i przykładowymi rozwiązaniami przed rozpoczęciem samodzielnego rozwiązywania zadań. Wiem, że to brzmi po belfersku, ale nie ma łatwiejszej drogi. Wytrwałości Ci życzę, dużo trzeba ćwiczyć.