kurcze mam problem. Andy: Liczby k i n są nieparzyste, każda ma 3 dzielniki, uzasadnij że różnica ich jest podzielna na 4 są to liczby pierwsze do kwadratu − do tego jakoś doszłem ale teraz jakoś to uzasadnić niby 2n+1 działa ale tylko dla n = 1 , 2 , 3 , , 5 , 6 , , 8 , 9 , , 11 , , , 14 pozatym chyba wzór na kolejne kwadraty liczby pirwsze nie istnieje ,,, ale jak się okazało różnica kwadratów każdej liczby nieparzystej jest podzielna przez 4 bo: 2n+1 jak podniose do kwadratu dla 2ch wyrazów (nie koniecznie jakiś sąsiadujących ze sobą) to wychodzi 4n² + coś*n + coś1 i po odjęciu wychodzi coś2*n + coś3 i w każdym wypadku coś2 i coś3 jest podzielne na 4.

Mariusz: tak jak dobrze zauwazyłeś są to kwadraty liczb pierwszych np. 9 i 25. czyli n=x² k=y² n−k=x²−y²=(x−y)(x+y) skoro x i y są liczbami nieparzystymi to ich suma jest parzysta i różnica także. Z tego wynika że ta liczba jest podzielna podwójnie przez dwa , czyli podzielna przez cztery

Andy: dzięki.

Mariusz: tylko jeszcze jedno, nie są to wszystkie liczby pierwsze. nie należy do nich 1, 2, bo one nie spełniają założenia (nieparzystość i trzy dzielniki)

Bogdan: 1. Liczbę nieparzystą można wyrazić wzorem: 2n + 1 dla n∊ℕ. 2. Każdy kwadrat liczby pierwszej p, czyli p² ma dokładnie 3 dzielniki. 3. Weźmy dwie liczby pierwsze, każda jest nieparzysta: p₁ = 2m + 1, p₂ = 2k + 1, m,k∊ℕ. 4. Mamy wykazać, że p₁² − p₂² = 4a. p₁² − p₂² = (2m + 1)² − (2k + 1)² = (2m + 1 − 2k − 1)(2m + 1 + 2k + 1) = = (2m − 2k)(2m + 2k + 2) = 2(m − k)*2(m + k + 1) = 4(m − k)(m + k + 1), co należało wykazać.

Mariusz:

Bogdan:

Zielona: Ktoś bardziej łopatologiczne wytłumaczy mi dlaczego to są liczby pierwsze podniesione do kwadratu? Tzn. jakoś wzorem mogę to zapisać?

Eta: 3²=1*9 dzielniki to: 1,3,9 5² = 1*25 dzielniki : 1,5,25 itd....

Zielona: To zrozumiem, sama też na to wpadłam pytam czy sama musialam na to wpaść, że są to liczby pierwsze podniesione do kwadratu, czy jest na to wzór.

Mila: p,q − liczby pierwsze ( zatem są nieparzyste dla p,q>2) liczby p²,q² maja po trzy dzielniki p²−q²=(p−q)*(p+q) iloczyn dwóch liczb parzystych jest podzielny przez 4.

PW: Nie ma wzoru, jest rozumowanie: gdyby liczba q miała rozkład q=p₁•p₂, w którym p₁ i p₂ są różne od 1 i różne od q, to miałaby na pewno dzielniki: 1,p₁,p₂,q (a więc co najmniej cztery)

Zielona: Ok. Rozumiem. Dzięki wielkie