kwadrat. Andy: x² = −3 mógłby to ktoś łopatologicznie wytłumaczyć, chcę tylko zaspokoić ciekawość

tim: A klasa, albo studia?

Andy: technikum

tim: a poznaliśćie takie cos jak liczby zespolone / urojone?

Andy: czytałem troche teorie na internecie ale jakoś mam problem do tego dość. wiem że jest liczba co składa się z 2ch części, i w drugiej części jest to i. ale nie wiem jak to wykorzystać w np. takim zadaniu ?

Bogdan: Jeśli technikum, to liczby zespolone odpadają. x² = −3 ⇒ x² + 3 = 0 Spróbuj narysować wykres y = x² + 3 i zobacz, czy wykres ma punkty wspólne z osią x, czy nie ma. Równanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów wspólnych wykresu z osią x.

Andy: ale mi właśnie chodzi o to żeby ktoś wmiare łopatologicznie powiedział o jak rozwiązać zadanie z liczbą zespoloną. jak narazie mi wię wydaje że: x² = −3 i teraz nie wiem co z częścią rzeczywistą, ale jakby założył że jest równa zero to zostanie część urojona i wiadomo by było że jeśli ją podniose do potęgi to ma dać −3, czyli to będzie √3i ? bo: √3 do kwadratu daje 3, a i² daje −1, −1 razy 3 daje −3 ?

Bogdan: W liczbach zespolonych: a² + b² = (a + bi)(a − bi), i = √−1, i² = −1 Jeśli więc x² = −3, to x² + 3 = 0 ⇒ (x + i√3)(x − i√3) = 0 Są dwa rozwiązania: x = −i√3 lub x = i√3. Część rzeczywista w każdym rozwiązaniu jest równa 0.

Andy: a w jakim wypadku część rzeczywista może być różna od 0 ?

AS: Pierwszy problem pojawił się przy rozwiązywaniu równania x² + 1 = 0. Rozwiązując to równanie uzyskiwano jako rozwiązanie x = √−1 W tym rzecz że nie można było znaleźć wartości takiego pierwiastka. Tak (−1)² jak i (+1)² dawało 1 a więc wartość różna od tej jaka znajduje się pod pierwiastkiem. Ale matematycy nie mogli się pogodzić z tym żeby czegoś nie można było wyliczyć.. W końcu przyjęto jako oznaczenie dla √−1 symbol i i nazwano liczbą urojoną. i = √−1 Łatwo sprawdzić,że i² = −1 , i³ = −i , i⁴ = 1 Rozwiązując równanie x² + 2*x + 5 = 0 otrzymujemy kolejno Δ = b² − 4*a*c = 2² − 4*1*5 = 4 − 20 = −16 √Δ = √−16 = √16*(−1) = 4*√−1 = 4*i x1 = (−b − √Δ)/(2*a) = (−2 − 4*i)/2 = −1 − 2*i x2 = (−b + √Δ)/(2*a) = (−2 + 4*i)/2 = −1 + 2*i Okazuje się,że przy tak zdefiniowanym pierwiastku równanie kwadratowe z deltą ujemną ma rozwiązanie,tylko nie w zakresie liczb rzeczywistych. Sprawdzam x1 (x2 proszę samemu sprawdzić) (−1 − 2*i)² + 2*(−1 − 2*i) + 5 = 1 + 4*i + 4*i² − 2 − 4*i + 5 = 1 + 4*i − 4 − 2 − 4*i + 5 = 0 Pierwiastek w tej postaci spełnia nasze równanie.

Andy: Wielkie dzięki, w x2 = −4 − 4i + 1 − 2 + 4i + 5 = 0 czyli też się zgadza.