zadanko z rejonówki ŚKM: Słuchajcie ŚKM−owskie zadanie z dzisiaj; etap rejonowy: 4/ X ŚKM − II − 5.01.2013 Na boku AB trójkąta ABC obrano taki punkt K, że KB=3*AK, a na boku BC tego trójkąta obrano taki punkt L, że CL=3*BL. Niech Q będzie punktem przecięcia prostych AL i CK. Znajdź stosunek pola trójkąta BQC do pola trójkąta ABC.

	3		2		9
Mi szczerze mówiąc wyszło		, ale słyszałem też coś o		,		...
	4		3		13

PW:

	9
Poprawna jest odpowiedź		.
	13

	1
Jeżeli oznaczyć symbolem S szukane pole trójkąta BQC, to pole trójkąta BLQ jest równe		S
	4

(trójkąty mają tę samą wysokość, a podstawy w stosunku 1:4). Jeżeli oznaczyć pole trójkąta AKQ symbolem T, to pole trójkąta KBQ jest równe 3T. Jak łatwo zauważyć

	3
(1) S+3T=		P
	4

	1		1
(2)		S+4T=		P
	4		4

Symbolem P oznaczyliśmy pole danego trójkąta, a równości napisane wyżej wynikają z faktu, że

	3
trójkąt KBC ma podstawę równą		podstawy trójkąta ABC, a trójkąt BLA ma podstawę równą
	4

	1
		podstawy trójkąta BCA.
	4

	9
Rozwiązanie układy równań (1) i (2) daje odpowiedź S=		.
	13