egz z matmy iLoveMath: Hej, Mam kilka pytań bo nie mogę znaleźć jednoznacznej odpowiedzi w notkach z wykładów i w necie. Mam zagadnienie "definicja kresu zbiorów" czy to podchodzi pod ograniczoność ciągów z góry i z dołu ?

iLoveMath: definicja kresów zbioru

Nienor: Tak, ciąg jest ograniczony, gdy ma kres górny i dolny, przyzałożeniu, że traktujemy wyrazy ciągu, jako elementy pewnego zbioru.

iLoveMath: a co to są zbiory przeliczalne i równoliczne ? bo rózne definicje tego znajduje w necie

PW: Równoliczne − istnieje przekształcenie różnowartościowe jednego z nich na drugi. Przykłady: Równoliczne są każde dwa zbiory o skończonej jednakowej liczbie elementów. Równoliczne są zbiory: liczb naturalnych i liczb wymiernych. Równoliczny jest zbiór R i zbiór R⁺ (przekształcenie różnowartościowe to np. f(x)=2^x). Zbiór przeliczalny (policzalny) to zbiór o skończonej liczbie elementów lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (jeśli dobrze pamiętam mówi się w tym wypadku o policzalności pierwszego rodzaju).

PW: Pojęcia kresu górnego i dolnego dotyczą dowolnego zbioru, mogą mieć zastosowanie do ciągów (których wartości tworzą przecież jakiś zbiór − tak jak napisała Nienor), ale lepiej tego nie mieszać. Dla dowolnego zbioru A⊂R kresem górnym tego zbioru jest jego największy element, a jeżeli w A nie ma największego elementu − kresem górnym A jest jego najmniejsze ograniczenie z góry. Problemem teoretycznym jest istnienie takiego ograniczenia z góry (to powinno być na wykładzie). Przykład. A=<0,1) nie ma największego elementu. Ograniczeniem z góry jest każda liczba M≥1, a najmniejszym ograniczeniem z góry, czyli kresem górnym − liczba 1.