F-cja uwikłana Natka: Oblicz z_xy jeżeli ^x_z=ln ^z_y

Natka: up

Natka: up

Trivial: Punkty spełniające równanie

	x		z
		= ln
	z		y

są zerami funkcji

	x		z
F(x,y,z) =		− ln		.
	z		y

Chcemy rozwikłać funkcję z = z(x,y). Mamy zatem:

	∂z		∂F   ∂x		1   z		z
		= −		= −		=
	∂x		∂F   ∂z		x   y   1   − − *   z2   z   y		x+z

	∂2z		∂		z		∂z   ∂z   (x+z) − z* ∂y   ∂y
		=		(		) =
	∂y∂x		∂y		x+z		(x+z)2

	∂z		x
=		*
	∂y		(x+z)2

	∂z		∂F   ∂y		y   z   − *(− )   z   y2
		= −		= −
	∂y		∂F   ∂z		x   y   1   − − *   z2   z   y

	z2
=
	(x+z)y

Zatem...

	∂2z		z2		x		xz2
		=		*		=
	∂y∂x		(x+z)y		(x+z)2		(x+z)3y

Można też różniczkować obustronnie równanie. Najpierw po x...

	x		z		∂
		= ln		/
	z		y		∂x

	∂z   z−x   ∂x		y		1	∂z
		=		*
	z2		z		y	∂x

	∂z		∂z
z−x		= z
	∂x		∂x

	∂z
z = (x+z)
	∂x

	∂z		z		∂
		=		/
	∂x		x+z		∂y

	∂2z		∂		z		∂z   ∂z   (x+z) − z ∂y   ∂y
		=		(		) =
	∂x∂y		∂y		x+z		(x+z)2

	∂z	x
=
	∂y	(x+z)2

Teraz po y...

	x		z		∂
		= ln		/
	z		y		∂y

	x	∂z		y		∂z   y − z ∂y
−			=		*
	z2	∂y		z		y2

	∂z		∂z
−xy		= z*(		y − z)
	∂y		∂y

	∂z
z2 = (x+z)y
	∂y

	∂z		z2
		=
	∂y		(x+z)y

W końcu...

	∂2z		∂z	x		xz2
		=			=		.
	∂x∂y		∂y	(x+z)2		(x+z)3y

Natka: DZIĘKUJĘ!