udowodnij metodą indukcji matematycznej orzeł: Witam, to zadanie było już rozwiązywane milion razy, ale chciałbym, żeby ktoś pomógł mi je rozwiązać metodą indukcji matematycznej. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej liczba : k⁶−2k⁴+k² jest podzielna przez 36. Da się to w ogóle rozwiązać tą metodą? Będę bardzo wdzięczny za każdą pomoc

Saizou : na pewno się da, ale po co, nie prościej jest zapisać że k²(k⁴−2k²+1)= k²(k²−1)²=(k(k²−1))²=((k−1)k(k+1))² niebieskie jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych zatem na pewno jedna z nich dzieli się przez 3, a inna przez 2, zatem iloczyn dzieli się przez 6, a podniesiony do kwadratu przez 36 cnu PS. a dla jakiej liczby byś sprawdzał podzielność

orzeł: Tak wiem, że można w ten sposób, ale mam za zadanie zrobić to właśnie indukcją. A co do pytania, to nie za bardzo rozumiem. Nauczyli mnie rozwiązywać to taką metodą: 1) sprawdzam prawdziwość wzoru dla k=2 2) zakładam prawdziwość wzoru dla k=n (wtedy wychodzi n⁶−2n⁴+n²=36w₁ gdzie w₁∊N) 3) udowadniam prawdziwość wzoru dla k=n+1 (wtedy mamy (n+1)⁶− 2(n+1)⁴+(n+1)²=36w₂ gdzie w₂∊N, no i teraz wyznaczam coś, np n² z pkt. 2) i podstawiam do pkt. 3) i przekształcam tak, żeby wyszła liczba podzielna przez 36). Dopiero zaczynam z tym ćwiczyć, więc mam z tym problem.

Trivial: Ma być indukcją, ale nikt nie broni uprościć wyrażenia od którego wychodzimy. k⁶ − 2k⁴ + k² = ((k−1)k(k+1))² To wyrażenie ma być podzielne przez 36 = 6² a zatem wystarczy że pokażemy: 6 | (k−1)k(k+1) I tu można dalej indukcją... 1. Warunek początkowy, k = 2 1*2*3 = 6 OK 2. Warunek kroku 6 | (k−1)k(k+1) ⇒ 6 | k(k+1)(k+2) k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k−1 + 3) = k(k+1)(k−1) + 3k(k+1) 6 | k(k+1)(k−1) (założenie kroku indukcyjnego) Zatem wystarczy pokazać, że 6 | 3k(k+1), czyli 2 | k(k+1). Przypadek 1: k = 2m 2m*(2m+1) OK Przypadek 2: k = 2m+1 (2m+1)*(2m+2) = 2(2m+1)*(m+1) OK Więcej przypadków nie ma, zatem 2 | k(k+1) dla każdego całkowitego k, co kończy dowód.

orzeł: wielkie dzięki za pomoc